i大的回答已經很完整了 我另外補充一下觀念思路的部分 希望能藉此幫你理解得更清楚 ※ 引述《Deconation (豬豬)》之銘言： : 反覆翻了課本好多次 還是不太明白熱學裡面式子的意義@@ : Cv是使1莫耳氣體上升1度K所需的能量 在定體積下 Cp則是在定壓下 : 但我往後翻 讀到 理想氣體在定壓下加熱 : Q=nCp△T = n (Cv+R) △T =nCv△T + nR△T : 既然是定壓下 Cv條件是定體積 這條式子導出來又何以成立呢?? : 看了好多次還是想不通 對於Cv和Cp的釐清，其實和第一定律的來由非常密切。 早先人們認為，功和熱是獨立的兩件事情，分別對應有守恆的某種物理量。 功 => 機械能的傳遞；熱 => 熱量的傳遞 前者你在高中力學看過，功可以造成動能的改變或是位能的改變。 而後者可以回想一下國中的熱學，Q = ms△T 例一、 假設我們今天有一個封閉的容器，裡面有一些理想氣體 當我給它固定的熱(比方說，插一個通電電阻進去，我可以用Q = I^2Rt去算 I是電流、R是電阻、t是經過的時間) 然後我去測量定量物質溫度的變化，我發現給的熱和溫度變化△T成正比，只是這個比例 常數對不同物質來說是不同的。國中我們說是比熱，現在我們把它叫做Cv。 因為這樣的緣故，我們會覺得在一定溫度、封閉容器下，物質都有一種"熱量"， 可以用nCv△T計算，會是守恆的。 例二、 假如我們有一個裝氣體的活塞，整個外殼用"絕熱"的材料包住。 (意思是如果裡面發生某些事情溫度改變，他也不太會跟外面環境的溫度達到熱平衡， 你可以想像保溫瓶或保麗龍容器就可以了。) 如果今天環境的氣壓比內部氣壓稍小，活塞就會慢慢被往外推，從牛頓力學我們知道他在 對外界做功，量值是P'△V (從F△X的做功定義加上壓力定義就可看出) 值得注意的是P'是外界壓力，因為他是抵抗外面的壓力在做功。 如果我們也有一支溫度計測量裡面氣體的溫度，會發現膨脹時氣體溫度降低了。 假設已經有理想氣體方程式的概念，則這件事情很簡單，因為P△V = nR△T P是內部壓力，但如果膨脹得非常慢，每個瞬間都達力平衡，則P'= P 所以我發現理想氣體條件下，這個做功量是P△V，我測體積變化就能算出來， 而這個做功量對應到系統"某種功量"的變化，是nR△T，看起來是守恆的。 (但是，若膨脹之後活塞又靜止了，且活塞是水平放置，感覺沒有動能和位能變化， 可以發現系統所損失的某種能量似乎不是力學上的動能或位能，是別的能量可以做功!) 接下來就是最戲劇性的轉折點了，如果我們今天在例一中改用"非封閉的容器"、例二中改 用"非絕熱的材料"，我們去計算就發現這兩件事情分別都是不成立的。 原因很清楚，當你今天對"開放"的系統加熱(例一)，他不但升溫、又能對外界膨脹做功， 相同來源的熱(電阻發熱)當然沒有辦法升到相同的溫度，因為有些能量拿去做功了。 而對"不是絕熱"的氣體活塞(例二)，它膨脹時溫度變低，所以外界環境的高溫開始給他熱 ，如果每個瞬間都能夠達到熱平衡，那你根本看不出氣體有溫度的變化! Joule當年累積了十數年的實驗數據，就是為了證明其實"功量"和"熱量"不是分別守恆的， 兩者其實是相同的一個東西，可以拿來做功也可以拿來放熱。 那時候對熱量的單位(卡路里)和力學能量的單位(N*m，現在又叫J)是不一樣的， 所以Joule的實驗相當於算出兩個單位的換算，也就是熱功當量。 以前我們只覺得這是單位換算，但其實有非常深刻的意義，就是熱和功師出同門! 這情況有點像是我們把力學系統的動能和位能統合起來一樣。 沒有位能時，彈性碰撞的動能交換是守恆的；沒有動能時，做功就等於位能變化。 但是在重力場下運動，則守恆的是動能加位能(機械能)，兩者分別不是固定的量! 但是，在兩個氣體實驗當中，能夠做功或傳熱的來源不是整個系統的動能或位能，因此定 義出一個新的守恆能量，叫做"內能"。 (其實這件事情高中也碰過了，還記得衝擊擺嗎? 一個子彈打入木塊的非彈性碰撞， 為什麼前後動能的量不是守恆? 因為有部份能量(內動能)變成木塊的內能了! 很多老師會說子彈打進去變成熱...其實不是很精確，實際上就是內能，木塊溫度升高。) 扯了很多，回到Cp的問題。剛剛說"非封閉容器"加熱時，理想氣體還會膨脹， 所以你要升高相同溫度的話，給的熱是要比較多的，多的部分用來對外做功。 就好像你要用提款機轉帳，不同家銀行會跟你收一些手續費，所以你"存款的改變量" (內能)不會等於"匯出的量"(熱)，而是差一個"手續費"(功) 算一下理想氣體: Cp = Q/n△T = (△E+P△V)/n△T = △E/n△T + P△V/n△T 前面那項就是Cv的定義，後面那項就是R(理想氣體常數) 所以你得到了Cp = Cv + R。 注意這個式子只對理想氣體成立。 (反過來驗證，當你是定容的時候，△V=0，第二項不見了，Q/n△T = △E/n△T = Cv ) 對於其他物質而言，Cp和Cv的關係可能會相當複雜，因為這時候各種的功可能都會跑進來 (化學功、彈性功、表面張力功、....) 值得一提的是，若非理想氣體，Cp有時候還可以比Cv小。從物理意義下去想，Cp的貢獻 包括了內能變化和體積變化的功，如果"某些物質"不是熱脹冷縮而是"熱縮冷脹"，那麼 反而不需要給他那麼多熱就可以升高相同溫度，因為外界壓力壓縮它也有給它能量! 例如0~4度C的水就是經典的例子啦! (當然水就不是理想氣體了) : 另外 : "恆溫"擴張(壓縮) 跟 "絕熱"擴張(壓縮) : 兩者差別到底在哪兒@@ : 書上寫 恆溫時△E=0 絕熱時 Q=0 (註:△E= Q - W ) : △E=nCv△T 恆溫時 △T=0 這可以接受 但是絕熱我就搞不太懂了..@@ 是因為熱量 : 沒有進出嗎?? 上面的敘述也等於把這題講了。絕熱的時候沒有熱的進出，但是做功會影響到內能， 而理想氣體的內能變化正比於△T，所以絕熱膨脹或壓縮，氣體溫度是會變的! : 最後是 E 這東西 我知道他是能量 但氣體分子 有移動 轉動 及 振動 這個E是涵蓋了 : 哪幾種??? 抑或是全部都包含在內?? : △E=3/2R△T 就我高中所學 這不是只有移動動能的部份嗎@@?? : 諸多觀念都很混亂 還賴板上前輩幫忙理清思緒QQ" 對於理想氣體而言，我們已經知道Cp = Cv + R 討論理論上的Cv時則要用到古典的"能量均分原理"，每個運動的自由度都有1/2 RT 能量 (1/2 RT對於一莫耳粒子、1/2 kT對於一個粒子) 單原子理想氣體只有移動動能，三個方向，所以Cv = 3/2 RT，Cp = 5/2 RT 沒有轉動動能，因為原子很小，寬度可以忽略，如果你普物有學到各種形狀的轉動慣量的 話，會發現寬度不計的旋轉方向，轉動慣量是0，那麼轉動動能當然也是0。 雙原子理想氣體，當做一個棒子看待，所以可以有兩個方向的旋轉。而繞兩原子連心線的 轉動軸，轉動慣量是0，因為當作是極細的棒子。 所以雙原子理想氣體是三移動二轉動，Cv = 5/2 RT，Cp = 7/2 RT 但是難道雙原子氣體沒有振動嗎? 中間的化學鍵不是可以看做彈簧? 沒錯，雙原子氣體有兩個額外的振動自由度，但是在室溫下不會被"激發"。 要看得到振動態的貢獻，溫度大概要幾千K，但化學鍵此時也大概被拉斷掉了，所以你能 看到Cv = 7/2 RT 的"溫度範圍"非常狹窄。 這裡就引出最後一件重要的事情，熱容量實際上是會隨溫度而變化的，因為正常物質在不 同溫度下有很多微觀現象在發生，都會對熱容量有所影響。 比如水的相變，冰塊和水的熱容量就有差異，可是接近0度C的水又有很多結構上的變化， 因此熱容量其實會是溫度的函數 C = C(T) 理想氣體之所以好算，就是因為我們假設在計算的範圍內，熱容量的值大約會是個常數， 如果你要算總共內能變化，要去積分CvdT的時候，Cv也可以直接提出積分號外面。 但是當Cv是T的函數時，你就得乖乖去積分它了... 普化或普物的理想氣體問題你都可以視熱容量為常數，只要搞清楚熱量變化只來自內能還 是也有來自做功(Cv or Cp)，但應該在心裡記得，實際上熱容量對大多數的真實物質，在 不同溫度下是不太一樣的。 希望能有點幫助~ 歡迎討論指教^ ^ --

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