時間Tue Jul 26 14:34:02 2011
: 一、求極限 15%
: （1） lim x^x
: x→0+
ln(x)
x^x = e^[xln(x)] = e^[-------], l'Hospital, e^(-x)
1
---
x
所以說原式 = lim e^(-x) = 1
x→0+
: （2） lim [(3^x+7^x)/2]^(1/x)
: x→0
3^x+7^x
ln(---------)
2 3^x*ln3 + 7^x*ln7
[(3^x+7^x)/2]^(1/x) = e^[---------------], l'Hospital, e^(-------------------)
x 3^x + 7^x
ln3 + ln7
所以說原式 = e^(-----------) = 21^(1/2)
2
: 二、積分 30%
: （1）∫e^x / [e^(2x)-e^(-2x)]^(1/2) dx
e^x dx
--------------------------dx = ---------------------
[e^(2x) - e^(-2x)]^(1/2) [1 - e^(-4x)]^(1/2)
4e^(-4x)
令 t = [1 - e^(-4x)]^(1/2), dt = ----------------------dx
2[1 - e^(-4x)]^(1/2)
dt 1 1 1 1
所以說原式 = ∫---------- = ---∫(----- + -----)dt = ---[-ln(1-t) + ln(1+t)]
2(1-t^2) 4 1-t 1+t 4
1 1+t 1 (1+t)^2 1 (1+t)^2
= ---ln(-----) = ---ln[---------] = ---ln[---------] = ln[e^x*(1+t)^(1/2)]
4 1-t 4 1-t^2 4 e^(-4x)
1 1 1
= x + ---ln(1+t) = x + ---ln{1 + [1 - e^(-4x)]^(1/2)} = ---ln{e^(2x) + [e^(4x) - 1]^(1/2)}
2 2 2
: 1
: （2）∫ e^(x^(1/2)) dx
: 0
dx dx
令 t = x^(1/2), dt = ---------- = ----, dx = 2tdt
2x^(1/2) 2t
1 |1 1 |1
所以說原式 = ∫ 2te^t dt = 2te^t| - ∫ 2e^t dt = 2e - 2e^t| = 2e - 2e + 2 = 2
0 |0 0 |0
: （3）∫(2x^3+3x^2+2x+2)/(x^3)(x-1) dx
2x^3+3x^2+2x+2 -2 -4 -7 9
---------------- = ----- + ----- + ---- + -----
x^3*(x-1) x^3 x^2 x x-1
1 4
所以說原式 = ----- + --- - 7ln|x| + 9ln|x-1|
x^2 x
: 三、畫圖 15%
: 畫出 f(x)=2(x^2-25)/(x^2-16) 的圖形 (完全沒變啊=口=)
在 x=4 及 x=-4 時有垂直漸近線
在 y=2 有水平漸近線
x=5 及 x=-5 時圖形與x軸有交點
: 四、求y=ln(cosx) ，X＝0到X＝Pi/4之間的弧長 10%
dy = -tan(x) dx
pi/4 pi/4 |pi/4
∫ (1 + [tan(x)]^2)^(1/2) dx = ∫ sec(x) dx = ln|tan(x) + sec(x)||
0 0 |0
= ln|1 + 2^(1/2)|
: 五、 判斷 │x^2-1│ 在x = 1時可否微分。 10%
|x^2-1| - 0 x^2 - 1
lim ------------- = lim --------- = lim (x+1) = 2
x→1+ x - 1 x→1+ x - 1 x→1+
|x^2-1| - 0 -x^2 + 1
lim ------------- = lim ---------- = lim (-x-1) = -2
x→1- x - 1 x→1- x - 1 x→1-
所以說不可微分
: 六、求斜率和切線方程 20%
: 求出 z = (x^2)/2 + (y^2)/3 和 x=1 的交線，在點(1,3,2)的斜率和切線方程式
過 (1,3,2)不在原方程上
2y dz 2y
z = 1/2 + (y^2)/3, dz = ----dy, ---- = ----
3 dy 3
2y 3
(z-2) = ----(y-3), 3z - 6 = 2y^2 - 6y, --- + y^2 - 6 = 2y^2 - 6y
3 2
9 6 +- 3*2^(1/2)
y^2 - 6y + --- = 0, 2y^2 - 12y + 9 = 0, y = ---------------- = m(取加號) m'(取減號)
2 2
所以說切線有兩條
2m 2m'
L1: (z-2) = ----(y-3), x=1; L2: (z-2) = -----(y-3), x=1
3 3
--
1F：推 steve1012:積分第一題 應該是 1/2*[ln (e^2x+(e^4x-1)^1/2)] 07/26 15:06
2F：→ cherryhun:四.sec(拍/4)=根號2吧? 07/26 15:15
嗯 已更正囉
3F：→ cherryhun:第二題用夾擠(7^x)/2<(3^x+7^x)/2<7^x的話出來好像是7 07/26 15:22
4F：→ cherryhun:哪裡錯了嗎@@? 07/26 15:22
5F：→ hsnuyi:(7^x)/2 這個東西的1/x次方 當x→0時等於0喔 07/26 15:32
6F：→ luky60311:積分第三小題分母的部分是X+1吧?? 07/26 17:20
7F：→ luky60311:最後一小題阿 20分有點......不過"d"的微分符號 07/26 17:25
8F：→ luky60311:改成partial 的微分符號是不是比較適合 07/26 17:26
9F：→ luky60311:畢竟單變數和雙變數的微分概念有些不同... 07/26 17:27
10F：→ luky60311:因為他"固定一個變數X"對Y作微分 不過財金系應該不會看 07/26 17:29
11F：→ luky60311:的那麼細 07/26 17:29
12F：→ luky60311:分母應該是"x(x+1)" ... 07/26 17:30
13F：推 a222603andy:最後一題的解法是否不太合理阿@@? 07/27 07:19
14F：→ a222603andy:那樣解的話(1,3,2)根本不在交線上阿@@ 07/27 07:20
15F：→ luky60311:有在交線上壓~~ 那題只是純粹測驗偏微分的基本概念吧.. 07/27 08:57
16F：→ luky60311:變數(x,y)帶入兩條方程式都會符合吧... 07/27 09:00
17F：→ luky60311:可能是這裡的係數打錯了吧... 07/27 09:01
18F：推 luky60311:所以最後一題不在交線上的話 應該改成 07/27 13:06
19F：→ luky60311:2/3y=(1/2+y^2-2)/(y-3) 解出y後才是正確斜率囉~??? 07/27 13:10
※ 編輯: hsnuyi (118.168.234.173 臺灣), 09/29/2019 23:03:22