時間Sat Jul 30 00:53:19 2011
: （沒有記得太清楚，希望強者補完&更正）
: 1.
: f(x,y,z)= xyz/(x^2+y^2+z^2) 求▽f(1,2,2)=?
yz(x^2+y^2+z^2) - xyz(2x) -yzx^2 + zy^3 +yz^3
fx = --------------------------- = ---------------------
(x^2+y^2+z^2)^2 (x^2+y^2+z^2)^2
由對稱性可知:
28 2 2
fx(1,2,2) = ----, fy(1,2,2) = ----, fz(1,2,2) = ----
81 81 81
所以說: ▽f(1,2,2) = (28/9, 2/9, 2/9)
: 2.
: ∞
: 求 Σ n/(2^n)
: n=1
1 2 3 1/2 1/4 1 1 1
原式 = --- + ----- + ----- + ... = --------- + --------- + ... = 1 + --- + ----- + ... = ---------
2 2^2 2^3 1 - 1/2 1 - 1/2 2 2^2 1 - 1/2
= 2
: 3.
: ∫(1 + e^2x)^(1/2) dx
令 t^2 = 1 + e^(2x), 2tdt = 2e^(2x)dx, tdt = e^(2x)dx
t^2 1 1 1 1
所以說原式 = ∫ ---------dt = ∫ (1 + ---------)dt = t + ∫ ---(----- - -----)dt
t^2 - 1 t^2 - 1 2 t-1 t+1
ln|t-1| ln|t+1| 1 t-1
= t + --------- - --------- + c = [1 + e^(2x)]^(1/2) + ---ln|-----|
2 2 2 t+1
1 (t-1)^2 t-1
= [1 + e^(2x)]^(1/2) + ---ln|---------| = [1 + e^(2x)]^(1/2) + ln|-----|
2 t^2 - 1 e^x
= [1 + e^(2x)]^(1/2) - x + ln|[1 + e^(2x)]^(1/2) - 1|
: 4. (100)
: f(x)=x^2/(x+1)(x+2)(x+3) , 求f (0)=?
1 4 9 (-1)^n x 3 1
f(x) = ------ - ----- + ------ = Σ [--------x^n] - Σ [(-1)^n*2*(---)^n] + Σ [---*(-1)^n*(---)^n
2x+2 x+2 2x+6 2 2 2 3
100! 100! 100!
f^(100)(0) = ------ - ------ + --------
2 2^99 2*3^99
: 5.
: ∫∫∫ (x^2 + y^2 + z^2)^2011 dV , x^2 + y^2 + z^2 ≦ 1
用球座標
2π π 1 1 4π
原式 = ∫ ∫ ∫ ρ^4024*sinθdρdθdφ = ------*2π*2 = ------
0 0 0 4025 4025
: 6. arctan(x)
: lim (-----------)^(1/x^2)
: x→0 x
樓下有提供做法囉~
: 7.
: f(x)=x^3 + 3x + 1 ，g(x)是f(x)的反函數，求g''(5)=??
[g(x)]^3 + 3g(x) + 1 = x, g(5) = 1
3[g(x)]^2*g'(x) + 3g'(x) = 1, 3g'(5) + 3g'(5) = 1, g'(5) = 1/6
6g(x)*[g'(x)]^2 + 3[g(x)]^2*g''(x) + 3g''(x) = 0, 1/6 + 6g''(5) = 0
g''(5) = -1/36
: 8.
: 8 2
: ∫∫ e^(x^4) dx dy
: 0 y^(1/3)
2 x^3 2 e^16 - 1
原式 = ∫ ∫ e^(x^4) dydx = ∫ x^3*e^(x^4) dx = ----------
0 0 0 4
: 9.
: lim f(x)= A , lim g(x)= B , 試證lim f(x)g(x)= AB.
: x→a x→a x→a
: 10.
: x(t)=4cos t
: y(t)=9sin t ,0≦t≦2π
: ∫ xdy - ydx /(x^2 + y^2)
: Γ
帶Green定理後可知 被積分函數在(0,0)之外是conservative的 所以說:
2π [rcosθ]^2 + [rsinθ]^2
原式 - lim ∫ -------------------------dθ = 0
r→0+ 0 r^2
2π
所以說原式 = ∫ dθ = 2π
0
--
1F：推 obelisk0114:第六題Mathematica解出來為0 07/30 02:21
2F：推 obelisk0114:第六題直接帶入,0的無限大次方為0 07/30 02:42
我其實是想要嚴謹一點的做法XDDD
3F：推 gj942l41l4:第六題取ln之後得極值為負無窮大 所以為0 07/30 09:00
題目有更正了
4F：推 tempestation:疑似筆誤：第1題，分母應該是(x^2+y^2+z^2)^2，所以 07/30 12:59
5F：→ tempestation:答案少乘(1/9)倍。第7題，解法第三行第一項應該是 07/30 13:00
6F：→ tempestation:6g(x)*[g'(x)]^2，所以答案應該是(-1/36)。 07/30 13:01
感謝指正囉~ 今天凌晨打的XDDD
※ 編輯: hsnuyi (118.168.234.173 臺灣), 09/29/2019 23:02:27