作者ptx03 (改暱稱是宅宅)
看板MATLAB
標題[問題]請問matlab一元五次方程式的數值計算問題
時間Mon Oct 21 22:21:50 2013
想請問板上前輩
小弟我目前用matlab 解一元五次方程式的根
由於原來的方程式係數order差異很大
所以我利用 x = m*y+n 調整 m 和 n 的大小
將原本的方程式改為 p 其中 p 的係數表示如下
p = [a1 a2 a3 a4 a5 a6]
a1 = 1
a2 = -8.3253840053406076293640580843203
a3 = 27.724839697799051663196223671548
a4 = -46.164094636185041053977329283953
a5 = 38.433515602069739713897433830425
a6 = -12.799010656064368163242761511356
由 p 可以利用 roots(p) 解出方程式的根 r1~r5
r1 = 1.6633 + 0.0061i
r2 = 1.6633 - 0.0061i
r3 = 1.6668
r4 = 1.6660 + 0.0000i
r5 = 1.6660 + 0.0000i
由上可以知道有一實根在 1.6668 附近
所以我選擇 y = 1.665:0.00001:1.667; 的區間對 p 做圖
以下為結果
http://imgur.com/Mg775kN
可以發現在這範圍內的圖型上下震盪的很嚴重
但是我輸入的是很單純一元五次函數阿
造成這樣的原因是matlab本身的問題，還是函數精度的問題呢?
有勞各位前輩解惑，謝謝! <(_ _)>
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 118.233.148.147
1F：→ ejialan:浮點數誤差造成的 看起來振的很嚴重 那是因為order在1E-14 10/22 09:48
2F：→ ejialan:由他給出的五個解看來 實部都很接近 虛部很小 粗略的看 10/22 09:52
3F：→ ejialan:會視為五重根 所以在解附近的一個區間都會很接近0 10/22 09:53
4F：→ ptx03:那請問這種情況可以用什麼方式改善嗎? 還是可以再調整精度計 10/22 13:46
5F：→ ptx03:計算呢? 10/22 13:46
6F：推 alamabarry:怎麼感覺變成單精度的浮點運算? 10/22 14:22
7F：→ alamabarry:不過我印象中浮點運算誤差大概是這個量值 10/22 14:22
8F：→ alamabarry:輸入eps看看 10/22 14:23
9F：→ ptx03:我目前只用過vpa，eps沒有用過，可以請教一下他的功用嗎? 10/22 14:54
10F：→ ptx03:歐歐!他是看電腦能分辨的最小值嗎? 10/22 14:58
11F：→ ptx03:我輸入以後得到的是2.2204e-016 10/22 14:59
12F：→ ptx03:所以表示我這附近的數值運算是無法再調整了嗎 @_@ 10/22 14:59
13F：→ ptx03:還是可以重新定義eps讓它變得更小?增加計算精度? 10/22 15:08
14F：→ H45:呃..還有個 realmin.. 10/22 17:40
15F：→ H45:你研究一下 1 + 0.1 * eps, 1 + eps, realmin, 0.5 * realmin 10/22 17:42
16F：→ H45:上面這些數值 (在雙倍精度浮點數下) 哪些會相等 10/22 17:43
18F：推 alamabarry:如果你真的要很準的解~~五次方還是有公式解 10/22 18:38
19F：→ alamabarry:但可能就要先用符號運算去處理了~~再把他數值化 10/22 18:38
20F：→ alamabarry:如果你是要實數解而已 可以用fzero去收斂 10/22 18:40
21F：→ alamabarry:roots 好像是利用矩陣的方法去求解的 很容易跑出複數 10/22 18:41
22F：推 profyang:我怎麼記得四次以上就沒有公式解了@@好像還有證明 10/22 20:15
23F：→ ptx03:五次方程式除了特殊型式外是沒有公式解的 Q_Q 10/22 20:44
24F：→ ptx03:我有用fzero去做，但是那附近震盪很嚴重，fzero也算不準 10/22 20:46
25F：→ ptx03:我是需要用到所有的根，所以要使用roots。之所以畫圖是要驗 10/22 22:24
26F：→ ptx03:證roots的精準性。 10/22 22:25
27F：推 alamabarry:抱歉記錯了~~四次以下~~ 10/22 23:41
28F：推 profyang:實數解的話 試過牛頓法嗎?還是fzero就是= =" 10/23 05:36
29F：推 profyang:不過震成這樣牛頓法應該也不會準... 10/23 08:15
30F：→ ptx03:所以這種情形是無法避免的事嗎? 10/23 15:13
31F：→ ptx03:但是double精度不是可以計算到e-308以下嗎? 10/23 15:14
32F：→ ptx03:這樣看起來就很矛盾，有前輩可以解釋一下嗎? 10/23 15:15
33F：推 ejialan:realmin是指他機器最小的浮點數 實際運算還是只有到eps 10/23 15:50
34F：→ ejialan:而且會因為捨入誤差再吃掉一些 就造成振盪的情形 10/23 15:51
35F：→ ejialan:如果真的要求很準的根可能要用多精度計算了 10/23 15:52
37F：推 alamabarry:fzero 印象中是混合法 好像也包含二分 和牛頓等等 10/23 18:03
38F：→ alamabarry:只能找實數的根 重根可能就比較危險一點 10/23 18:04
39F：→ alamabarry:roots 好像是把它當成特徵方程式 建構出一個矩陣 10/23 18:05
40F：→ alamabarry:用一些分解法去求出特徵值 QZ分解? 10/23 18:05
41F：→ alamabarry:所以會算出複數的解 10/23 18:05
42F：→ alamabarry:不過太詳細的內容不清楚 10/23 18:06
43F：→ alamabarry:如果把你的數值代入整數還會這麼震盪嗎 10/23 18:06
44F：→ ptx03:整數?是指a1~a6都帶整數嗎? 10/23 19:13
45F：推 alamabarry:恩~~因為之前有做過類似的~但沒有變動這麼劇烈 10/23 22:58
46F：→ ptx03:不這樣又會產生另一個問題! 原本方程式的係數差異非常大 10/23 23:03
47F：→ ptx03:最大和最小比例是1:10^22，要是改動係數那結果就會差很多 10/23 23:04
48F：推 alamabarry:單純覺得有可能是因為位數太多而產生計算的誤差 10/23 23:53
49F：→ alamabarry:可以測試一下釐清原因在哪 10/23 23:53
50F：→ ptx03:那我可以使用vpa來計算嗎?把小數位精度調整? 10/24 00:03
51F：推 WRO:印象中超過四次還是有精確公式解，只是這個『公式』內含類似 10/28 13:04
52F：→ WRO:雙曲函數或三角函數等等，也就是無法將方程式係數透過有限次的 10/28 13:05
53F：→ WRO:加、減、乘、除、開根號操作得出根，這也是普遍所指的『公式 10/28 13:06
54F：→ WRO:解』。所以精確的"五次公式解"印象中應該還是存在的 10/28 13:08
55F：推 WRO:如果你願意接受公式內有包含加、減、乘、除、開根號以外的動作 10/28 13:10
56F：→ ptx03:要用Θ函數和戴德金η函數才能建構出來。 10/28 23:39
57F：→ ptx03:然而這兩種函數會花費大量運算的時間，五次函數是我程式的一 10/28 23:40
58F：→ ptx03:小部分，不能花太多時間的 10/28 23:41