第一次數學危機 歷史背景 畢達哥拉斯（約公元前580年─公元前300年）是一位古希臘的數學家及哲學家 ，他曾有一句名言「凡物皆數」，意思是萬物的本原是數，數的規律統治萬物。 不過要注意的是，在那個年代，他們相信一切數字皆可以表達為整數或整數之比 ──分數，簡單而言，他們所認識的只是「有理數」。 有趣的有理數 當時的人只有「有理數」的觀念是絕不奇怪的。對於整數，在數線上我們可以知 道是一點點分散的，而且點與點之間的距離是一，那就是說，整數不能完全填滿 整條數線，但有理數則不同了，我們發現任何兩個有理數之間，必定有另一個有 理數存在，例如：1與2之間有1/2，1與1/2之間有1/4等，因此令人很容易以為「 有理數」可以完全填滿整條數線，「有理數」就是等於一切數，可惜這個想法是 錯的，因為…… 畢氏定理、畢氏鐵拳 偉大的時刻來臨了，畢達哥拉斯發現了現時眾所周知的畢氏定理（其實中國於公 元前一千一百年已有此定理），從這個定理中，畢達哥拉斯發現了一件不可思議 的事，就是腰長為１的等腰直角三角形的斜邊長度，竟然是一個無法寫成為有理 數的數。亦即是說有理數並非一切數，存在有理數以外的數，有理數不可以完全 填滿整條數線，他們心中的信念完完全全被破壞了，他們所恃和所自豪的信念完 全被粉碎。在當時的數學界來說，是一個極大的震撼，也是歷史上的「第一次數 學危機」。 新的一頁 原來「第一次數學危機」是「無理數」的發現，不過它還說出了「有理數」的不 完備性，亦即有理數不可以完全填滿整條數線，在有理數之間還有「罅隙」，無 疑這些都是可被證明的事實，是不能否定的。面對著事實，數學家展開廣闊的胸 襟，把「無理數」引入數學的大家庭，令數學更豐富更完備，加添了無理數，數 線終於被填滿了。 -- 羅西尼：『莫札特不是最偉大的音樂家，他實在是世界上唯一的音樂家。』 蕭邦最後遺言：『請演奏莫札特的音樂追憶我。』 海頓：『親朋好友常說我才比天高，但莫札特卻在我之上。』 --

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