作者znmkhxrw (QQ)
看板Math
標題[微積] 收斂性與極限值
時間Thu Jan 6 21:13:16 2011
大一上初微時 老師給我們以下定義：
Definition：a_n is convergent to S
if for all ε>0, there exists Nε>0,
s.t. when n >= Nε, we have │a_n - S│< ε
Moreover, we write "a_n is convergent to S" into lim a_n = S
n→∞
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問題：
如果一道題目要我們證a_n是否收斂，我們可以取lim值嗎？
意思是 像是請證明1/n 是收斂的
我們可以說 因為 lim 1/n = 0 , 極限值存在 所以他收斂
n→∞
這我感覺怪怪的 感覺邏輯有誤
(一) 怎麼知道極限值是0？(如果前提是有極限值，那當然收斂(by defition))
(二) 要先證明收斂才能取lim 這句話有問題嗎？
感覺這好像是if and only if 的定義阿= =
有lim值就能說他收斂了(定義)
可是你怎麼知道你的limit值是對的(回到(一))
可是像是 a_n = (-1)^n
我們可以寫成 a_n=(-1)a_(n-1)
假設你同取lim
變成 S=-S → S=0
解出極限值等於0..可是a_n根本不收斂
這就是一個 "要先證明收斂才能取lim" 的範例了
可是這邊又有一個問題，我確實解出了limit值=0，你怎麼知道這是錯的
你可能會說因為│a_n│= 1 for all n
可是以邏輯的觀點 記然是iff
我們有"如果收斂則limit值存在" 且"如果limit值存在則收斂"
那為什麼它存在limit=0(解出來的) 卻不收斂
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希望有神人能看得懂我的問題= = 表達不是很清楚@@"
因為感覺
limit存在 iff
收斂 iff
if for all ε>0, there exists Nε>0,
s.t. when n >= Nε, we have │a_n - S│< ε
這三者是一樣強的
為啥會有"要先證明收斂才能取lim"這句話(這句話感覺lim條件比收斂嚴苛)
謝謝~
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◆ From: 111.243.146.113
1F：→ mzhrqoc01 :limit指的不就是S嗎，所以找得到limit就是收斂 01/06 21:29
2F：→ mzhrqoc01 :但是在不確定有沒有這樣的S的時候，要給出S，要先說 01/06 21:30
3F：→ mzhrqoc01 :明S存在，即證明收斂 01/06 21:31
4F：→ mzhrqoc01 :我又想了一下，覺得limit條件好像比收斂嚴苛 01/06 21:45
5F：→ mzhrqoc01 :因為取limit要求你確定收斂，而且知道S 01/06 21:46
6F：→ mzhrqoc01 :但收斂不一定需要知道S 01/06 21:47
7F：→ mzhrqoc01 :好像又沒有說清楚，我是說寫出 lim An = m 要求 01/06 21:54
8F：→ mzhrqoc01 :An收斂到某個數S，且S等於m，但是An收斂不需要你知道 01/06 21:55
9F：→ mzhrqoc01 :那個某數S是多少 01/06 21:56
10F：→ znmkhxrw :"a_n收斂"跟"a_n收斂到S"不是一樣的嗎 收斂必有值阿 01/06 21:58
11F：→ josh28 :有時候那個S很難算阿XD 01/06 22:29
12F：推 jacky7987 :應該說 lim(n->inf) 1/n=0 是因為你可用定義證明出來 01/06 22:32
13F：→ znmkhxrw :所以要扯到不用知道S的Chauchy Criterion？ 01/06 22:32
14F：→ jacky7987 :|1/n-0|<ε 然後我們把它記成lim(n->inf)1/n=0 01/06 22:33
15F：→ mzhrqoc01 :我試著舉一個例子有一個數列a_n, a_1=1,a_n>=2*a_n-1 01/07 00:01
16F：→ mzhrqoc01 :級數Σ（1/a_n）遞增，且有上界=2，這些條件就可以說 01/07 00:04
17F：→ mzhrqoc01 :明這個級數Bn收斂，但Bn是多少卻不能決定吧 01/07 00:06
18F：→ mzhrqoc01 :這是我剛剛想出來的，不知道好不好 01/07 00:06