作者yhliu (老怪物)
看板Math
標題Re: [機統] 書上的問題
時間Thu Jan 13 22:34:47 2011
※ 引述《ntask (ntask)》之銘言：
: 甲乙兩人分別校對同一本書
: 甲找出了 m 個錯 乙找出了 n 個錯
: 其中有 s 個錯是相同的
: 請問大約還有多少個錯沒找出來?
: 因為這不是專門講機率的書
: 所以作者的意思似乎是不需要太高深的數學就能解
: 請問這要如何解? 是哪一方面的問題?
: 謝謝回答
ByronC 的解法相當於統計學的 "動差法估計" (moment
method estimate). 而結果好壞的評估其實不是很容易
的.
考慮 Bayesian 的方法. 假設總錯誤數是 N, 而甲乙能
找出之聯合機率如下:
乙找出 乙未找出
甲找出 PQ P(1-Q)
甲未找出 (1-P)Q (1-P)(1-Q)
又設 N, P, Q 的聯合 prior distribution 如下:
λ^x e^{-λ} Γ(α+β+2)Γ(a+b+2)
π(x,p,q)=-------------- ------------------------------ p^α(1-p)^βq^a(1-q)^b
x! Γ(α+1)Γ(β+1)Γ(a+1)Γ(b+1)
x=0,1,2,..., 0≦p,q≦1.
又假設 λ 已知.
Given N=x, P=p, Q=q, "data"(m,n,s) 的機率分布是
x!
f(m,n,s|x,p,q) = ------------------------ p^m(1-p)^{x-m} q^n(1-q)^{x-n}
s!(m-s)!(n-s)!(x-m-n+s)!
則 N,P,Q 之 posteropr distribution 為
π(x,p,q|m,n,s) proportional to
λ^x
---------- p^{α+m}(1-p)^{β+x-m}q^{a+n}(1-q)^{b+x-n}
(x-m-n+s)!
x≧m+n-s, 0≦p,q≦1.
把 p, q 積掉, 得 N 之 marginal posterior distribution:
π1(x|m,n,s) proportional to
λ^x Γ(β+x-m+1) Γ(b+x-n+1)
---------- ------------- -----------
(x-m-n+s)! Γ(α+β+x+2) Γ(a+b+x+2)
x≧m+n-s
要計算 E[N|m,n,s], 大概只能數值計算, 一個一個加了?!
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