作者akrsw (quo vadis?)
看板Math
標題Re: [微積] 一題積分
時間Mon Jan 17 12:43:02 2011
※ 引述《raymond168 (raymond168)》之銘言：
: 標題: [微積] 一題積分
: 時間: Sun Jan 16 23:34:06 2011
:
: 以下是我算題目的時候，解不出來的積分問題:
:
: ∞ 1
: ∫(x^r)sin(2πlogx)----------exp(-((logx)^2)/2)dx
: 0 (√(2π))x
:
: 推 bolue :令logx=t x^r=exp(r*logx) dt=(1/x)dx ㄜ... 用暴力 01/16 23:54
: → bolue :IBP好像可以 但是答案好醜的樣子.. 可能有更好的方法 01/16 23:54
: 推 bolue :sry IBP好像不行 應該是某種積分變換吧-.- 01/17 00:00
令 logx = t，則原積分式等於
∞
∫exp(rt)sin(2πt)exp(-t^2/2)/√(2π)dt。
-∞
因為 sin(2πt) = Im(exp(i2πt))，其中 Im 代表取虛部，
所以原積分式等於
∞
Im ∫exp{-t^2/2 + (r+i2π)t}/√(2π)dt
-∞
配完全平方，可得
∞
Im ∫exp{-[t-(r+i2π)]^2/2 + (r+i2π)^2/2}/√(2π)dt
-∞
∞
= Im exp{(r+i2π)^2/2}∫exp{-[t-(r+i2π)]^2/2}/√(2π)dt
-∞
令 u= t-(r+i2π)，則
∞
∫exp{-[t-(r+i2π)]^2/2}/√(2π)dt
-∞
∞
= ∫exp{-u^2/2}/√(2π)du = 1 (高斯積分)
-∞
故原積分式 = Im exp{(r+i2π)^2/2}
= exp(r^2/2 - 2π^2)sin(2πr)
有誤請指正，謝謝。
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◆ From: 211.20.185.36
1F：→ steve1012 :神！ 01/17 20:27