※ 引述《skywidth (skywidth)》之銘言： : 想請問一個證明 : 假設一袋子中有 1-5號卡片 : 抽兩次 取後不放回 那號碼和的期望值是? : 其中 : 我可以直接算抽一個的期望值在乘以2 : 1+2+3+4+5/5 *2=6 : 但我始終找不到證明 所以無法理解其原因 : 我比較能理解取後放回 但取後不放回實在無法理解 不知各位有沒有證明? 如果要直接算號碼的期望值 首先 5 任取兩數的方法數 = C = 10種 2 (因為取後不放回,所以必取到不同數) 取到的兩數可能為 (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5) (1+2)+(1+3)+(1+4)+(1+5)+(2+3)+(2+4)+(2+5)+(3+4)+(3+5)+(4+5) =>號碼和期望值= ------------------------------------------------------------- 10 = 60/10 = 6 (跟取一個的期望值x2剛好一樣) 如果要更詳細的證明如下: 假設有n個號碼(1,2,3,...,n) n Σ k k=1 n(n+1)/2 則取一個的期望值再乘以2 = -------- x 2 = ------------x2 = n+1 n n C 1 n-1 n n-1 n Σ Σ (i+j) Σ (n-i)*i + Σ j i=1 j=i+1 i=1 j=i+1 取兩個數直接算期望值 = ---------------- = ----------------------- n n(n-1)/2 C 2 n-1 Σ ni-i^2+ (n+i+1)(n-i)/2 i=1 = ---------------------------- n(n-1)/2 n-1 Σ -3*i^2 + (2n-1)i+(n^2+n) i=1 = ----------------------------- n(n-1) (-3)(n-1)(n)(2n-1)/6 + (2n-1)(n-1)(n)/2 + (n-1)(n^2+n) = -------------------------------------------------------- n(n-1) = -(2n-1)/2 + (2n-1)/2 + (n+1) = n+1 所以用這兩種方法算出來的答案都"恰好"會等於 n+1 得證!? 差不多吧XD --

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