作者JohnMash (Paul)
看板Math
標題Re: [線代] 若兩個矩陣相似(similar)則秩(rank)一樣?
時間Tue Jan 25 13:40:38 2011
:※ 引述《wyob (Go Dolphins)》之銘言：
:藉這篇問一下，那A會和A^t相似嗎
:因為我想要解以下這題不知道路線對不對
:prove or disprove A(A^t)和(A^t)A有相同的非負eigenvalue
:--
:
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:◆ From: 134.208.85.174
1F：推 sc841104 :相似啊 特徵向量都一樣 01/24 23:19
No
2F：→ wyob :感謝，我寫寫看，那第二部分呢 01/24 23:20
3F：推 sc841104 :等等好像怪怪的XD 01/24 23:24
4F：→ sc841104 :P^-1AP=D A=PDP^-1 A^T=Q^-1DQ 可知A和A轉有相同特徵 01/24 23:25
5F：→ sc841104 :值 01/24 23:26
D is Jordan block matrix, and then?
6F：→ wyob :第二題可以用跟這相關的方法嗎?為什麼強調非負阿 01/25 00:03
7F：→ Vulpix :大概就跟a^2非負一樣的意思，一定不是負的 01/25 00:36
Suppose a NONZERO vector x and a POSITIVE numberλsatisfying
A.A^t.x=λ x...........................................(1)
then
A^t.A.A^t.x=λ A^t.x....................................(2)
that is, if x is an eigenvector of A.A^t with eigenvalue λ.
By (1), A^t.x CANNOT be the null vector.
By(2), A^t.x is an eigenvector of A^t.A with eigenvalue λ.
Suppose a NONZERO vector x satisfying
A.A^t.x=0 (i.e. λ=0)
then det(A)=0
there is a NONZERO vector y such that A.y=0
then A^t.A.y=0
Done.
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◆ From: 112.104.88.209
※ 編輯: JohnMash 來自: 112.104.88.209 (01/25 13:44)
8F：推 wyob :感謝，看懂了，如果A是m by n的就不一定了對吧 01/25 23:00
For example,
A=[1 0 0]
[0 1 0]
A.A^t=[1 0]
[0 1]
A^t.A=[1 0 0]
[0 1 0]
[0 0 0]
※ 編輯: JohnMash 來自: 112.104.98.144 (01/26 00:02)
9F：推 ofd168 :對不起大大,小弟太笨,真的是有看沒有懂 01/26 22:42
10F：→ ofd168 :能麻煩大大寫一下結論嘛@@? 01/26 22:42