作者sm008150204 (風切羽狂)
看板Math
標題Re: [代數] 跟 Subgroup 子群有關的問題
時間Wed Jan 26 10:42:24 2011
※ 引述《superconan (超級柯南)》之銘言：
: 1. 設 H 為 群G 的子群，
: 證明：For all a, b 屬於 G , Ha = Hb 或 Ha∩Hb = 空集合 中必恰有一成立。
: 2. 設 H 是 群 ( G,。 ) 的有限集合，且 H 在 "。" 運算之下滿足封閉性，
: 證明：H 為 G 的子群。
: 第一題不知道該怎麼證，麻煩高手解說！
: 第二題我在想，是不是只要證 For all a屬於H ， a^(-1) 也屬於 H 即可？！
: 先謝謝可以為我解惑的高手！！！
希望沒錯
1.
(1) if a ＝ b , it is clearly that Ha = Hb
(2) if a ≠ b
(a) a,b belong H : Ha = H = Hb
(b) a belong H , b belong G\H : claim Ha∩Hb = 空集合
assume not. let x belong Ha∩Hb
then x belong Ha(=H) and x belong Hb
exist h1 belong H s.t. h1 = x and
h2 belong H s.t. (h2)b = x
then we have h1 = x = (h2)b
since H is subgroup , b = (h2)^(-1) (h1) ,which belong H →←
Thus Ha∩Hb = 空集合
(c) a,b belong G\H : claim Ha∩Hb = 空集合
assume not. let x belong Ha∩Hb
then x belong Ha and x belong Hb
exist h1 belong H s.t. (h1)a = x and
h2 belong H s.t. (h2)b = x
then we have h1(a) = x = (h2)b
since G is subgroup , h1 = (h2) b a^(-1)
which means b a^(-1) belong H , b,a belong H →←
Thus Ha∩Hb = 空集合
2.
Let a belong H , since H is closedness
a^2 belong H , a^3 belong H , ... , a^n belong H , ...
but H is finite , then exist m > 0 s.t. a^m = e
thus H = ＜a＞ ← cyclic group is subgroup of G
H is a subgroup of G
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我可以為兄弟兩肋插刀，
但我可以為女人插兄弟兩刀。
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◆ From: 140.113.90.84
※ 編輯: sm008150204 來自: 140.113.90.84 (01/26 11:14)
1F：推 superconan :謝謝你～我來消化一下 01/26 17:49
2F：→ superconan :想請問第一題a≠b的討論，怎麼會想到去看a,b有沒有在 01/27 04:56
3F：→ superconan :H裡面。 01/27 04:57
4F：→ superconan :第二題用到a^m = e，可是應該還不確定e有沒有在H吧？ 01/27 04:58
5F：→ sm008150204 :a^m=e 是因為H=<a> finite 去翻翻cyclic group那邊吧 01/27 12:08