作者hotplushot (熱加熱)
看板Math
標題Re: [代數] Hungerford代數上的習題
時間Thu Mar 17 01:06:10 2011
※ 引述《herstein (翔爸)》之銘言：
: ※ 引述《hotplushot (熱加熱)》之銘言：
: : 先述說一個定理
: : Thm
: : If F is a free abelian group of finite rank n and G is a nonzero subgroup of F
: : then there exists a basis {x(1),...,x(n)} of F,an integer r(1≦r≦n)
: : and positive integers d(1),...,d(r) such that d(1)|d(2)|...|d(r)
: : and G is free abelian with basis{d(1)x(1),...,d(r)x(r)}.
: : 1.
: : Let G be a finitely generated abelian group in which no element(except 0)
: : has finite order.
: : Then G is a free abelian group.(提示:使用上面定理)
: : 我的想法:
: : 第一步 建造一個abelian group F使其有basis,自然F就是自由群
: : 第二步 證明G為F的子群 根據上述定理 自然G就是自由交換群
: : 請問這想法對嗎?
: : 如果對 要怎麼更確切寫出來(如果對 我覺得第一步比較難寫出來)
: YES. Let X={x_1,...,x_n} be a set of generators of G.
: Consider F(X) and the natural map f:F(X)-> G. Apply the theorem
: to ker f. Here F(X) is the free abelian group generated by X
: and the map f is the epimorphism given by x_i->x_i.
我把版友的提示寫看看
http://tinyurl.com/4l5b2lc
請大家看看有沒有什麼錯誤的地方
不過好像沒有用到定理.....
: : 2.
: : The direct sum of a family of free abelian group is free abelian.
: : 這題暫時沒什麼頭緒
: : 請版友能給予協助 感激不盡
: Can you find a basis for the direct sum? if you have a basis for
: each member of the family. This is my idea but you can have different idea.
: 我的基礎代數忘的差不多了~~所以僅供參考~~~XD
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◆ From: 111.252.196.205
※ 編輯: hotplushot 來自: 111.252.196.205 (03/17 01:18)
1F：推 herstein :ker f為什麼等於0?這就是重點了~~ 03/17 13:10
2F：→ herstein :再者你的生成元x_i,x_j可能存在著關係 03/17 13:12
3F：→ herstein :假如G是由a生成的 {a,2a}還是可以生成G 03/17 13:13
4F：→ herstein :這就是為什麼你要用定理去說ker f是甚麼 03/17 13:13
5F：→ herstein :所以ker f一定是0嗎? 03/17 19:16
6F：→ herstein :仔細想想就可以知道ker f大概會長怎樣... 03/17 19:16
7F：推 xcycl :generating set 並沒有 {a, 2a} 的問題 .. 03/17 19:26
8F：→ xcycl :更正, free generating set 03/17 19:27
9F：→ xcycl :談生成有兩種情況，一個是拿群裡頭的元素生成 03/17 19:28
10F：→ xcycl :另一個是拿一個 set 來生成 03/17 19:28
11F：→ xcycl :free algebra 是取集合生成, F{a, 2a} != F{a} 03/17 19:30
12F：推 herstein :樓上的~~我說的是G的生成不是F(X) 03/17 19:35
13F：→ xcycl :ohoh, sorry 03/17 20:06