※ 引述《SansWord (是妳)》之銘言： : 謝謝您的回應，我發現我的確問得很不清楚。 : 我再從另外一個角度描述一次問題。 : 我現在有 m個數字，x1 ... xm, 皆是在Zn之內的整數。 : 我用這些數字造出一個多項式： : (x - x1 )(x - x2) ... (x - xm) = p(x) : 那麼，現在有一個y : p(y) ≡ 0 mod n 我想你似乎還是把mod跟Zn搞混了 假設我們有x,y是"整數"(integer),n是正整數 當 n|x-y 時,我們可以"定義" x ≡ y (mod n) 則"≡"是一個等價關係(equivalence relation) 所以我們可以把整數Z裡面的元素分成有限個(finite)等價類(equivalence class) 然後這些等價類可以一一對應到Zn裡面的元素 0,1,2,...,n-1 好,那現在來看 你定義 p(x)=(x - x1 )(x - x2) ... (x - xm), x1, ..., xm in Zn 則p(x)是在 Zn[x] 裡的元素 在你想要把y帶入p(x)時,y一定也要是Zn裡的元素,否則y-xi沒有意義 接著呢, p(y)=(y - x1 )(y - x2) ... (y - xm) in Zn 有注意到嗎 p(y)仍舊是Zn裡面的元素 那你所謂 p(y) ≡ 0 mod n 代表的是什麼意思呢? 想想看吧:) : 那麼我可以確定y就是x1 ... xm 其中一個數字嗎？ : 我已經知道in general 不行了 : (x-2)(x-4) , 2, 4都屬於 Z8 : 可是 (6-2)(6-4) = 8 ≡ 0 mod 8，6不是根。 這裡所得出的8還是Z8裡的元素,不能再拿來做mod運算 你可以說因為在整數Z裡面, 8 ≡ 0 mod 8 (這裡8跟0是等價) 所以(6-2)(6-4) = 8 = 0 in Z8 (這裡8跟0是等於喔) 所以6也是這個方程式的根!! 一個很關鍵的原因就是Z8不是"integral domain" 如果Zp,p是質數的話 就不會有這個問題 例如 p(x)=(x-2)(x-4) in Z5 (i.e. p=5) 那p(x)就只有2,4兩個根 (你可以自行算算看) : 如果要可以，這個n需要怎樣的性質？ 有問題的話可以一起討論喔:) --

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