作者dqIpb (dqipb)
看板Math
標題Re: [中學] 2000年 大陸數學競賽
時間Thu Aug 18 18:47:37 2011
※ 引述《diow1 (小玉)》之銘言：
: 2 2 2 2
: x的二次方程式 (k-6k+8) x + (2k-6k-4) x +(k-4) = 0 的兩根都是整數
: 求 k=? <<答案 3 , 6 , 10/3 >>
(k-2)(k-4)x^2 + (2k^2 - 6k - 4)x + (k-2)(k+2) = 0
十字交乘
=> [(k-2)x + (k+2)][(k-4)x + (k-2)] = 0
x = -(k+2)/(k-2) = -1-4/(k-2) 或 x = -(k-2)/(k-4) = -1-2/(k-4)
4/(k-2)是整數且 2/(k-4) 是整數
設 k-4 = p/q，p,q是整數，(p,q)=1，p>0。於是 p = 1 或 2。
=> 4/(k-2) = 4q/(p+2q) p = 1 => (2q+1)|(4q) => (2q+1)|(-2) => q = -1，餘不合
p = 2 => (q+1)|(2q) => (q+1)|(-2) => q = 1或-2或-3
解出 k = 4 + p/q = 3 或 6 或 10/3
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◆ From: 61.217.34.98
※ 編輯: dqIpb 來自: 61.217.34.98 (08/18 18:48)
※ 編輯: dqIpb 來自: 61.217.34.98 (08/18 19:01)
1F：推 diow1 : 強 ! 08/18 19:17
2F：推 diow1 : 最後 4行 -->設k-4=p/q 之後.... 不 太了解 ? 08/18 19:24
3F：→ diow1 : 麻煩 ! 各位大大 ...感恩 08/18 19:25
4F：→ dqIpb :4/(k-2)是整數且2/(k-4)是整數 k-4=p/q 2/(k-4)=2q/p 08/18 19:28
5F：→ dqIpb :(p,q)=1所以p|2 08/18 19:29
6F：推 diow1 : 謝謝 ...揪...感心 08/18 19:35
7F：推 G41271 :漂亮 08/18 21:34
8F：推 weipuo :第四行 x = -(k+2)/(k-2) = ...或 x = -(k-2)/(k-4) 08/19 05:37
9F：→ weipuo :但是不影響後面的列證 原PO解的很漂亮:) 08/19 05:38
謝謝指正XD
※ 編輯: dqIpb 來自: 61.217.33.14 (08/19 08:40)
10F：推 folkontheshe:不好意思 可以請問一下嗎? 08/19 13:19
11F：→ folkontheshe:(2q+1)|(4q) => (2q+1)|(-2) 這個是怎麼推的啊?感謝! 08/19 13:20
12F：→ dqIpb :d|a,d|b=>d|(ax+by). (2q+1)|(4q - 2*(2q+1)) 08/19 13:21
13F：推 folkontheshe:原來如此! 多謝回答!!!! 08/19 13:23