※ 引述《lifeisdrama (人生如戲)》之銘言： : 想請問板友下面的題目 : x''+x'+x=sign(x-sin(t)) ; x(0)=0 , x'(0)=1 : 其中x為t的函數，而sign函數的定義為 : sign(x) = 1 if x>=0 : = -1 if x< 0 : 這是自己想的題目所以沒有解答 : 目前想過級數解跟Fourier Transfer : 但目前還沒想到如何處理sign以及裡面的x跟sin... Green's function 也許會是比較好的策略 因為有「累積」的概念在裡面 不過這只是直覺 沒實做不知道 且下面的方法也跟 Green's function 無關.... : 有想過將sign(x-sin(t))寫成 ( x-sin(t) ) / | x-sin(t) |，但還是沒什麼進展 : 想請版友指點方向(除數值解外) : 非常感謝你的幫忙~ 我覺得可以借助於物理的分析： （可參考 http://en.wikipedia.org/wiki/Damping ） 你的系統相當於 damped oscillation 加上 sign(x-sin(t)) 項 F = mx'' = - kx - c x' + sign(x-sin(t)) with m = k = c = 1 其中 -kx 項為彈簧恢復力 -cx' 項為與速度一次方成正比的阻尼（耗散）項 非線性項 sign(x-sin(t)) 在 x >= sin(t) 時為助力，x<sint 時為阻力。 由初始條件 x(0)=0, x'(0)=1 知， 力學能為 mv^2/2 = 1 2 2 沒有阻尼項時的最大振幅 x 由 mv /2 = k x / 2 給出 → x = 1 0 0 0 如果沒有 sign(x-sin(t)) 項 那麼這個阻尼振盪的 angular frequency 2 ω = ω √(1-ζ ), 其中 ζ = c/2mω , ω = √(k/m) = 無阻尼之角頻率 d 0 0 0 本題對應的情形為 ω = (√3)/2, ω = 1 d 0 t = 0 時， -cx' = -1, sign(x-sin(t)) =1，兩項恰好抵銷， 彈簧行為與無阻尼時無異, x = x sin(ω t) = sint 。 0 0 但是經過一小段時間 Δt 之後，彈簧受恢復力作用減速， 致使 cx'<1 ， 敵不過 sign(x-sin(t))， 因此這段時間，相較於 F = -kx 的簡單振盪，物體是受到助力作用的， 故其位置 x 會比起無阻尼、無助力的 x = x sin(ω t) 稍微前進一些 0 0 + 如此便能保證 x-sin(t) = x - x sin(ω t) > 0 (在 t = 0 附近) 0 0 因此在 t >= 0 的時候，您可以直接代入 sign(x-sin(t)) ＝ 1 然後解二階 ODE 直到 x(t) 與 sin(t) 死亡交叉之時（即x(t ) < sin(t )）， 1 1 再換成 sign(x-sin(t)) ＝ -1 然後利用那時的邊界條件 x(t ) 與 x'(t ) 解 ODE 1 1 等到出現黃金交叉（即x(t ) > sin(t )）的時候再換回 +1 2 2 如此往復循環 應該可以解到任意的 x(t) 只是這樣的分析 暫時還無法知道均衡態是否存在，以及 t→∞ 的極限情形罷了。 --

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