作者doublewhi (趙哥)
看板Math
標題Re: [工數] 一題ODE
時間Sat Aug 20 18:06:19 2011
※ 引述《handsboy (夠夠拋兒瑞久)》之銘言：
: dy 3 2 -1
: ---- = x (y-x) + x y , x>0
: dx
: 想不出來-.-
: 有人會解嗎
此為Riccati ODE 按照解題步驟慢慢算即可..
1. y=x為一特解 令y=x+u 帶入ODE (會變成Bernoulli ODE)
帶入得
1+u'=x^3*u^2 + (x+u)/x
u'=x^3*u^2 + u/x (有合併對象 用觀察法較易..)
u^-2 du = (1/x)(1/u)dx + x^3dx
d(1/u) + (1/x)(1/u)dx = - x^3dx , I= exp(lnx)=x
d(x/u) = -x^4dx , xu = (-x^5+c)/5
u = 5x/(c-x^5) , y = x+u = x + 5x/(c-x^5)
===============另解====================
令y-x=z 整理得
z'=x^3*z^2 + z/x
xdz-zdx = x^4*z^2 dx
d(zx^-1)/(x^-2) = x^4*z^2 dx
1/(x^-2*z^2) = x^4 dx ,積分得
-1/z*x^-1 = (x^5+c)/5
z = -5x/(x^5+c) , y = x - 5x/(x^5+c)
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◆ From: 140.113.122.118
1F：推 handsboy :哦哦哦哦哦 原來是RICCATI -.- 08/20 18:11
2F：→ doublewhi :不過我不太懂另一個大大怎樣看出變異係數法可以解的 08/20 18:12
3F：→ doublewhi :@@ 08/20 18:12
4F：→ doublewhi :打錯 參數變異法 (好像一樣? XD 08/20 18:14
5F：推 handsboy :參數變易法是哪個阿 哈哈 08/20 18:17
6F：→ doublewhi :沒事 我想錯了@@ 08/20 18:19
7F：→ doublewhi :我剛看了一下 用z=y-x後 觀察法應該也可以解 08/20 18:20
※ 編輯: doublewhi 來自: 140.113.122.118 (08/20 18:27)
8F：→ handsboy :太久沒看一階ODE 就..變的廢廢的 -.- 08/20 18:23
9F：→ handsboy :令y=x+ 1/u 帶回好像比較快 直接解一階線性 08/20 18:23
10F：→ doublewhi :可以問如何看出y=x+ 1/u嗎 @@ 08/20 18:28
※ 編輯: doublewhi 來自: 140.113.122.118 (08/20 18:28)
11F：推 handsboy :就把你的u 令成我的1/u 哈哈 算出來應該一樣 08/20 19:21
12F：推 mihimaru16 :u直接改另1/u算是直接跳兩步 跟教科書的算法相同 08/20 22:21
13F：→ mihimaru16 :可化成參數變異法則是將y另為-(1/R(x)u)(du/dx) 08/20 22:23
14F：→ mihimaru16 :就可以升階成二階ODE 08/20 22:24
15F：→ doublewhi :樓上可以詳細介紹下升階的做法和想法嗎? 08/20 23:55
16F：推 mihimaru16 :升階我是在書上看到的 不過我推倒不出來所以沒用過這 08/21 14:09
17F：→ mihimaru16 :種解法 這種解法優點是可以不用假設特解救可求通解 08/21 14:10
18F：→ mihimaru16 :化減後會變u"-(Q+R'/R)u'+PRu=0 08/21 14:11