※ 引述《hpuse (zhbtdhetg)》之銘言： : 我想證明f在S的任何compact subset 連續 則f在S連續 : 我設p為S的任何點 : 1.請問是不管怎樣 都會存在一個數列收斂至p嗎? 看你的數列有沒有其它要求. 如果今天限定說, 這個數列不能取 p 點 那就不一定會有這個數列的存在的. 比如說, S 是 finite set, 這樣的話 在 Hausdorff space 等級以上的空間(如果不知道 Hausdorff 是什麼的話, n 你可以用 |R 去看, 我只是講比較一般化的拓樸的情況.), S 是compact. 但是, 就找不到一個數列 {x } 在 S\{p} 使得 x 收斂到 p. n n : LET S裡的{x_n}且x_n收斂至p : 令W={p,x_1,x_2,.......,x_n,.......} : 則W is a compact set : (這個我會證) : 之後利用f在W連續 : 2.請問我可以說f在W連續,所以在W的每個點連續,所以f在p點連續 : 進而推到f在S連續嗎? : 還是要利用f在W連續且x_n收斂至p : 所以f(x_n)收斂至f(p)才能講f在p點連續? 對, 要這樣才行. : 3.另外我想問一個證明 : 因為手邊沒有原文書 : 想問f在p點連續if and only if 存在一個數列x_n收斂至p : 則f(x_n)收斂至f(p) : 的epsilon-delta證明為何? 要改一下 Let f: A → B and p be in A. Then f is continuous at p if and only if for each {x } in A with n {x } converges to p, we have {f(x )} converges to f(p). n n [Proof] (=>) Let {x } be in a such that {x } converges to p. n n Then for any ε＞ 0, there is a δ ＞ 0 such that if x is in A and │x－p│＜δ, │f(x)－f(p)│＜ε. So, we can find an nature number N such that n ≧ N => │x －p│＜δ => │f(x )－f(p)│＜ε. n n (<=) Assume not, f is not continuous at p. Then we can find an ε＞ 0 such that for any nature number n, 1 there is a y in A such that │y －p│＜ ── and n n n │f(y )－f(p)│≧ε. So {y } is in A and converges to p, but n n {f(y )} does not converges to f(p). n --

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