作者herstein (翔爸)
看板Math
標題Re: [微積] 數列收斂
時間Mon Sep 5 17:01:44 2011
※ 引述《suzzdicon (舒玆迪控)》之銘言：
: a_(n+1) = 1/(4+a_n)
: a_0 = 1/4
: 證明:a_n收斂
有另外一種證明
首先你就看看相鄰兩項的差異是多少。
a(n+1)-a(n) = (利用通分的方法) = (a(n-1)-a(n))/(4+a(n))(4+a(n-1))
由於a_0=1/4>0，所以由歸納法可知a(n)>0(恆正)
所以呢1/(4+a(n))(4+a(n-1))<1/16
可知對任意的n≧1，恆有
|a(n+1)-a(n)|<|(a(n-1)-a(n))|/16。
一搬來說如果數列(a_n)具有以下性質
|a(n+1)-a(n)|<r|(a(n-1)-a(n))|, 其中0<r<1
都會是收斂的，因為由此可以證明數列式科西列，實數的科西列必收斂。
同樣的手法也可以拿來做以下的解法。
假設a是 a= 1/(4+a)的解，且a>0。那麼估計
a(n)-a = (a- a(n-1))/(4+a)(4+a(n-1))
可知
|a(n)-a|<|a(n-1)-a|/16。
所以
|a(n)-a|<|a(0)-a|/16^n。
讓n->無窮，可知|a(n)-a|->0。
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