※ 引述《handsomepow (handsomepow)》之銘言： : 證 = = : N 小於不等於 R : ("="集合的元素個數) : 翻書有查到 : = = : R的個數為2^ N : 還是不太了解該怎證 首先考慮 2^N 這個集合 原始的定義是：S is a set, then 2^S is the collection of the subset of S so 2^N = {{n_1,n_2,..n_m....}│m€Natural number} 造一個函數f：2^N → U by f({n_1,n_2,..n_m....}) = (s1,s2,...,s_n,...) , si = 1 if i = n_j , j€natural number si = 0 if i=/= n_j U是由0,1所組成的數列集合 也就是說 U = {(s1,s2,...,s_n,...)│s_i=0,1 for all i€Natural number} 所以2^N 就可以看成 U 了 則可以證明2^N是不可數的 (pf：假設2^N可數，則2^N可以排成下列形式：2^N={a1,a2,a3....} where ai=(ai_1,ai_2,a_i3.....)€2^N , ai_j=0 or 1 define a sequence t=(t1,t2,t3.....) by ti = 1 , if ai_i = 0 0 , if ai_i = 1 then we find ti+ai_i = 1 , for all i and t€2^N so t = ai , for some i (t1,t2,....,ti,...) = (ai_1,ai_2,....,ai_i,....) we find ti = ai_i , →← to ti+ai_i = 1 , Q.E.D.) 會令2^N是因為這個數列從1開始，下標都是正整數，1 2 3 4 .... 然後每項都有0,1兩個選擇 所以有2^N種選擇 唉呀 反正可以互推 隨你怎麼想~~XD -------------------------------------------------------------- 現在如果題目只是要證明：R is uncountable 則考慮一個函數 f：2^N → [0,1] by f((s1,s2,...,s_n,...)) = 0.s1 s2 s3... then f is one-to-one and f(2^N) 被[0,1]包含，所以f(2^N)是[0,1]的子集 假設R是可數的話，[0,1]也會是可數，f(2^N)也會是可數 (可數集的子集也會是可數) 但是f：2^N → f(2^N) is 1-1 and onto if f(2^N) is countable , then 2^N is countable , →← -------------------------------------------------------------- 如果現在要證你要問的第一題： 如果card(N) = card(R) 代表存在1-1 onto的函數from N to R , 與R是不可數矛盾 如果card(N) > card(R) 代表存在1-1 的函數f： N into R 所以f：N→f(N) is 1-1 , onto , so f(N) is countable 而f(N) 被R包含 R是不可數 矛盾 --------------------------------------------------------------- 再來是你問的第二題： 考慮二進位的方式 0 = 0 , 1/2 = 0.1 , 1/3 = 0.01.... , 1 = 0.111111111111111 則剛剛講的f變成1-1 and onto [0,1] (小數點擺在第一個不為零之前) 所以 card(2^N) = card([0,1]) 再來我只需要證[0,1]與(0,1)間存在一個bijection就證完了 因為要造一個bijection from (0,1) to R 太簡單了 可是...................... 光[0,1]與(0,1)間存在一個bijection 就花了我快兩個小時= =" 還是證出不出來^^" 不過同學google到了.... http://planetmath.org/encyclopedia/ClosedOpen.html 這是一個證(0,1) [0,1] (0,1] [0,1) 彼此間都存在bijection的證明 (可推得 R、R中任何open interval ,interval , half-open or half interval 這五個彼此間都存在bijection) 第二個證明蠻好懂得 所以我們就有card(2^N) = card([0,1]) = card(R) --

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