作者TassTW (塔矢)
看板Math
標題Re: [微積] 幾個無限觀念的問題
時間Sun Sep 25 04:28:31 2011
這類困擾很常見, 原因是:
1. 數學上的無限是可以自圓其說的, 但是現實生活中沒有這種無限
所以數學上計算的結果, 若對比到現實生活中出現了困擾, 往往是
"假設一個現實生活中不可能的事情, 得到一個和直覺違背的結果"
因為前提就不是現實生活中可能出現的現象了,
所以無論他結論是什麼, 都不用覺得奇怪,
例1
如果進行無限次動作,
最後會怎麼
例2
如果我能在 2^{-k}, k→∞ 秒內做這個動作, 則
之後會怎樣
2. 今天的情況又有點不一樣, 出題者自己答非所問, 亂寫一氣
這題目的數學面很簡單, 定義以下集合
E1 := {2, ..., 10}
E2 := {3, ..., 20}
.
.
.
Ek := E_{k-1} ∪ {10*k-9, ..., 10*k} \ {k}
F1 := {2, ..., 10}
F2 := {2, ..., 10, 12, ... , 20}
.
.
.
Fk := F_{k-1} ∪ {10*k-8, ..., 10*k}
一二題就是證明 lim Ek 和 lim Fk 存在 並求出他們是什麼
是的, lim Ek 是空集合, 但你不能說 "最後" 箱子裡沒有球,
lim Fk 是無限集, 但你不能說 "最後" 箱子裡有無限多顆球,
因為在 "語言" 中, 我們覺得最後箱子裡有無限多顆球, 因為
lim |Ek| = ∞, lim |Fk| = ∞
但出題者自己算出 | lim Ek | = 0
但自己不知道 | lim Ek | 和 lim |Ek| 的差別
* 無聊補充 這也可以用簡單的實分析語言來描述:
定義函數 e_k(x) = 只在 Ek 內的點上取值為 1, 其餘為 0
算其個數, 如同在 counting measure on (N, P(N)) 下積分
| lim Ek | 和 lim |Ek| 便可改寫成 ∫ lim e_k 和 lim ∫ e_k
此時函數 e_k(x) 是逐點收斂到 恆0函數 ,
給了另一個 "逐點收斂不保證極限可遞入積分" 的例子
3. 第三題我之前錯看了, 做出了錯誤的論證
感謝 LimSinE 學長指正
數學式以及其推論是沒有錯的,
任何"球"在"最後箱子"中的機率為 0
因此這個 "最後箱子" 中沒有任何球
4. 最後補充一個我"討厭"的現象
為什麼有"最後的箱子"?
現行大家接受的說法是, 我們能定義的就是數學模型取極限
即使中文當中"最後的箱子"不存在,
也因為這是 適合對應數學模型取極限 的文句
因而使用這個說法
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「我們愛星星至深無懼於黑暗。」
"We have loved the stars too fondly to be fearful of the night."
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 71.207.151.119
1F：推 weltschmerz :所以他這樣答案是正確的嗎？ 09/25 04:50
2F：推 weltschmerz :先感謝您認真看了並回我的問題 09/25 04:52
3F：→ TassTW :嗯, 我在文中回答你了 xD 希望你也認真讀一下 09/25 04:58
4F：→ suhorng :請問可以借轉嗎 ? 09/25 08:47
5F：→ TassTW :歡迎 :) 09/25 09:16
6F：→ yhliu :"集合之極限的元素個數" 與 "集合之元素個數的極限" 09/25 09:26
7F：→ yhliu :是不同的. 就 case 1 而言, 集合(序列)之極限是空集, 09/25 09:27
8F：→ yhliu :其元素個數是 0; 但集合序號中每一集合元素個數一直 09/25 09:28
9F：→ yhliu :在增長, 元素個數(序列)的極限是正無窮.y 09/25 09:28
10F：→ yhliu :就 case 3 而言, 單純用 "集合" 去看有點說不清楚, 09/25 09:34
11F：→ yhliu :因為每一階段箱中的球號都是隨機的結果. 09/25 09:35
※ 編輯: TassTW 來自: 71.207.151.119 (09/25 13:25)