作者chy1010 (投靠了陌生的河流)
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標題Re: [微積] 格林定理解PDE
時間Tue Nov 1 01:53:39 2011
※ 引述《bahhy (Kenzo)》之銘言：
: dG(x,x')
: ---------(代上下界x'+E到x'-E) = 1 ------(1)
: dx
: 在積分一次得
: G(x,x')(代上下界x'+E到x'-E) = 0 -----(2)
這應該是我們通常希望 Green's function 做到的事情,
就是在某個地方 "微分會像 delta function " 一樣.
L
這裡的結果是希望 u(x) = ∫ G(x,y) q(y) dy
0
由於 G(x,y) 當成 y 的函數時, 會在 x 有 singularity, 所以微分要小心:
L x L
u(x) = ∫ G(x,y) q(y) dy = ∫ G(x,y) q(y) dy + ∫ G(x,y) q(y) dy
0 0 x
確保積分範圍內部為連續, 送, 微積分基本定理:
L
u'(x) = ∫ D_x G(x,y) q(y) dy (用 D_x 表示 對 G(x,y) 的 x 分量微分)
0
+ G(x,x-)q(x-) - G(x,0)q(0) + G(x,L)q(L) - G(x,x+)q(x+)
邊界條件: G(x,0)=G(x,L)=0
再加上 "q 連續" & "我們希望 G(x,x+)=G(x,x-) 左右極限值" 要一樣
L
所以 u'(x) = ∫ D_x G(x,y) q(y) dy
0
大膽再微一次分:
L
u''(x) = ∫ (D_x)^2 G(x,y) q(y) dy
0
+ D_xG(x,x-)q(x-) - D_xG(x,0)q(0) + D_xG(x,L)q(L) - D_xG(x,x+)q(x+)
邊界條件: G(x,0)=G(x,L)=0, 對 x 微一下分不過分吧?! => D_xG(x,0)=D_xG(x,L)=0
再加上 "q連續" & 我們希望 "D_xG(x,x-)-D_xG(x,x+) = 1"
另外利用 G 滿足方程式得到: (D_x)^2G + k^2 G = 0
L
於是有 u''(x) = -k^2 ∫ G(x,y) q(y) dy + q(x)
0
= -k^2 u(x) + q(x)
於是得到 u''(x) + k^2u(x) = q(x) 的解.
這個 Green's function 的取法要點在於我們想強迫它滿足:
(1) 原homogeneous 方程式 G''+k^2G=0 (2) 邊界條件 G(x,0)=G(x,L)=0
(3) 在 singularity x=x' 附近希望要有 G(x,x-)-G(x,x+) = 0
DG(x,x-)-DG(x,x+) = 1
如此才有對 u(x) 微分不小心丟出一個小孩 q(x) 的功效...
所以你說的那兩個式子不是計算 G 得到的,
是我們想要 G 是 Green's function,
就必須強迫它滿足那兩個條件
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擁懷天地的人，有簡單的寂寞。
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◆ From: 114.37.254.163
※ 編輯: chy1010 來自: 114.37.254.163 (11/01 01:55)
1F：推 LimSinE :買連續函數, 送, 微積分基本定理！ 11/01 02:45
2F：推 bahhy :原來如此 感謝 那能否在請問一下 如何由條件求出A跟 11/01 09:57
3F：→ bahhy :B這兩個係數呢? 11/01 09:57
4F：→ chy1010 :像你一樣定好之後, 對 G, D_x G 取極限 x->x', 11/01 10:53
5F：→ chy1010 :讓他滿足 G(x,x-)=G(x,x+), D_xG(x,x-)-D_xG(x,x+)=1 11/01 10:54
6F：→ chy1010 :這樣就可以算出每個點 x 的 a,b 11/01 10:54
7F：推 bahhy :還是不太會算耶>< 不好意思 能否實際算給我看呢?謝謝 11/01 11:38
8F：→ chy1010 :計算結果大概可以從你記得的那個係數窺得一二 11/01 13:13
9F：→ chy1010 :考慮變異係數法: 先定 α(y)sinkx+β(y)sink(x-L) 11/01 13:15
10F：→ chy1010 :然後代入方程式. 等下午 meeting 完晚上再來回 0.0 11/01 13:16