作者IminXD (Encore LaLa)
看板Math
標題[代數] φ(d)=n
時間Mon Nov 7 21:35:06 2011
一題子群部分的相關題目..
Let n € Z+. Then Σ φ(d)=n .
↑ (d|n)
屬於
要證明這件事情..
題目就不太懂內含了，更不知道該怎麼證...囧
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 220.136.189.64
1F：推 sophialiege :印象中summation的suffix是d整除n 11/07 21:39
※ 編輯: IminXD 來自: 220.136.189.64 (11/07 21:40)
2F：→ suhorng :應該是 "|" 打錯成 "/" (?) 11/07 21:40
3F：→ IminXD :恩對；是d|n 感謝提醒=P 11/07 21:40
4F：→ suhorng :對於所有 i=1...n, 用 gcd(i, n) 來分類 11/07 21:40
5F：→ suhorng :對於與 n 的最大公因數為 k 的類, 也就是對於 11/07 21:41
6F：→ suhorng :gcd(i, n) = k 的所有i, 有 gcd(i/k, n/k)=1 11/07 21:41
7F：→ suhorng :也就是φ(n/k) 其中 k | n. 11/07 21:41
8F：→ suhorng :所有類的總個數是 Σ_(k|n) φ(n/k), 顯然等於 n 11/07 21:42
9F：→ suhorng :而 Σ_(k|n) φ(n/k) = Σ_(k|n) φ(k). 這樣. 11/07 21:42
10F：→ suhorng :補上上上行...我是指這樣的 i 共有 φ(n/k) 個 11/07 21:43
11F：→ IminXD :懂意思了，我在想想怎麼用數學式寫； 謝謝^^ 11/07 21:52
12F：推 jacky7987 :另一種證法 是先定義Euler-phi function 11/07 21:54
13F：→ jacky7987 :有些書的定義是phi(n)={x|x^n=1, x^d≠1 for 1<=d<n} 11/07 21:55
14F：→ jacky7987 :接著定義primitive zero of unity 11/07 21:56
15F：→ jacky7987 :證明手法是 let x=e^{ikπ/n} 11/07 21:58
16F：→ jacky7987 :證明x is pimitive of degree n <=> gcd(k,n)=1 11/07 21:58
17F：→ jacky7987 :不對我打錯了= =" 11/07 22:00
18F：→ jacky7987 :(請直接忽略上面的幾行XD) 11/07 22:00