作者zi6ru04zpgji (分說 不分說 不由分說)
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標題Re: [其他] 一階ODE 全微分法
時間Fri Nov 25 01:01:14 2011
※ 引述《cos3242 (一生懸命)》之銘言：
: 不好意思一直重複發問...剛在學全微分
: 2 2
: 1.y'=y -2xy +x + 1
: 2
: 2 y 2
: 2.(3x y+6xy+---)dx+(3x +y)dy=0
: 2
: 3
: 3.y'+2xy+xy =0
: 2
: 3 -x
: 4.xy-y'=y e
: 5.(x-√xy)y'=y 註:xy都在根號裡
: 我需要grouping 其他方法我都會使用
1.
dy=y^2dx-2xydx+x^2dx +dx
d(y-x)=y(y-2x)dx +x^2dx
令u=y-x y=x+u dy=dx+du
du =(x+u)(u-x)dx +(x^2)dx
du= u^2dx
u^(-2)du=dx
1/u=x+c
1/(x+c)=u=y-x
y=x+1/(x+c)為顯函數解
3.
y'+2xy+xy^3 =0
dy+2xydx+xy^3dx=0
dy+yd(x^2)+0.5y^3d(x^2)=0
2dy+(2y+y^3)d(x^2)=0
2
─── dy +d(x^2)=0
2y+y^3
2y
───── dy + d(x^2)=0
y^2(2+y^2)
y -y
[─── + ────]dy + d(x^2)=0
y^2 (2+y^2)
lny - 0.5 ln(2+y^2) +x^2 =c
y^2
ln(────) + 2x^2=c 為隱函數解
2+y^2
5.
(x-√xy)y'=y
xdy-sqrt(xy)dy=ydx
xdy-ydx=sqrt(xy)dy
x
-y^2d(──) =sqrt(xy)dy
y
令u=xy x=u/y
-y^2d(u/y^2)=sqrt(u)dy
1 u dy
──── d(──) + ─── =0
sqrt(u) y^2 y^2
y u dy
──── d(──) + ─── =0
sqrt(u) y^2 y
u
2sqrt(──) +lny =c
y^2
x
2sqrt(──) +lny=c 為隱函數解
y
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