作者dogy007 (dogy007)
看板Math
標題Re: [分析] 高微一題
時間Thu Dec 22 10:29:03 2011
※ 引述《tiwsjia (佳佳)》之銘言：
: inf
: Does Σ e^(-nx)*sin(x/n) converges uniformly on [0,1]?
: n=1
: 很容易證明對於任意的 d > 0, 它在 [d,1] 均勻收斂。
: 但一直不知如何證明在整個 [0,1] 均勻收斂。也可能不均勻收斂。
: 感謝！
: 佳佳
Note1: x/(1-e^(-x)) <= e for x in (0,1]
proof: 考慮 f(x) = 1-e^(-x) - x/e on [0,1]
f'(x) = e^(-x) - 1/e >=0, so f(x) 遞增 on [0,1]
f(x) >= f(0) = 0, 1-e^(-x) >= x/e, so x/(1-e^(-x)) <= e
Note2: 我們不需要考慮 x = 0 該點，因為在該點級數每項都是 0
give epison > 0, choose N1, such that e/N1 < episilon
則當 M > N > N1 時
Σ_{n = N to M} e^(-nx)*sin(x/n) <= Σ_{n = N to M} e^(-nx)*x/n
<= (x/N) Σ_{n = N to M} e^(-nx)
= (x/N)e^(-Nx) (1-e^(-M-1)x)/(1-e^(-x))
<= (1/N) x/(1-e^(-x))
<= e/N1 = episilon
所以該級數均勻收斂
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