作者freePrester (Prester)
看板Math
標題Re: [中學] 幾何證明
時間Tue Feb 10 12:31:47 2026
※ 引述《blackymys (mys)》之銘言：
: https://i.mopix.cc/WtzFus.jpg
: 請教各位先進，此題怎麼證明，感謝！
用高中常見的 向量 & 共線定理 & 內分點定理處理
(以下若無特別說明時 AB 代表向量 AB，其它亦同)
令 |GE| = a 、 |GF| = b 、 |GD| = c 、
線段 BC 中點 M (亦為直線 AG 與直線 BC 交點)
b a
在直線 EGF 中可知 AG = ----- AE + ----- AF
a+b a+b
3 1 3b 1 3a 1 1
且 AM = --- AG = --- * ----- AE + --- * ----- AF = --- AB + --- AC
2 2 a+b 2 a+b 2 2
3b 3a
比較係數後可知 AB = ----- AE 、 AC = ----- AF
a+b a+b
a c
在直線 EGD 中可知 AG = ----- AD + ----- AE
a+c a+c
3 3a 3c a+b
得到 AM = --- AG = -------- AD + -------- * ----- AB
2 2(a+c) 2(a+c) 3b
3a 3c a+b
由 BMD 共線可知 -------- + -------- * ----- = 1
2(a+c) 2(a+c) 3b
1 1 1
整理得 3ab + c(a+b) = 2b(a+c) => ab + ac = bc => --- + --- = --- 得證
b c a
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※ 編輯: freePrester (146.75.187.52 臺灣), 02/10/2026 14:17:21
1F：→ blackymys : 謝謝free大詳細指導，感恩！ 02/10 19:05