作者R2003 (費邊)
看板Math
標題[分析] 可微性在不同運算空間之間保存?
時間Fri Mar 6 14:14:40 2026
RT
近日剛接觸複變
當然會碰到 complex function f 於z_0可微的定義
即以下極限
f(z_0+h)-f(z_0)
lim --------------- 存在, z_0屬於 C
h->0 h
又Apostol有一定理提到
n變數函數可微的充分條件是
某個偏導存在，且另外的n-1個偏導存在並連續
我就想那是不是後者也能推至前者
(因為單就集合本身而言，C可以視為跟 R x R 同構)
但在跟助教確認過有反例後(原因是運算規則不同):
f(z) = |z|^2
在C中，f不可微
用R^2形式寫即為 (x^2+y^2)+0*i
對x偏導存在(2x)，對y、0偏導存在且連續(2y、0)
所以R^2下，依Apostol的那個定理，f(z)可微
於是就好奇，R^2跟C的可微性不能保存是因為運算規則不同
那一般下，兩個不同運算的空間之間，
是否有滿足一些條件即可保證可微性的存在，即:
M and S are two different spaces with different operations,
f: X -> X is differentiable on X, X in M
phi: M -> S
phi(f): Y -> Y, Y in S
What are some conditions, if exists, for phi to satisfy
such that differentiability of f on X is preserve on Y after mapping,
that is, making phi(f): Y -> Y differentiable on Y?
希望大大們能給我一些答案
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 39.14.24.214 (臺灣)
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※ 編輯: R2003 (39.14.24.214 臺灣), 03/06/2026 14:16:23
1F：推 wrvuxci : Cauchy-Riemann equation是你要的嗎 03/06 17:16
好像一半是(我一邊回應一邊再釐清自己的問題)，
Cauchy-Riemann 理解到現在是
一複變函數，若取其實部、虛部至R^2上處理後，皆可微並連續
則，R^2上滿足此方程 iff 該函數在C上可微
但我想問的是在更一般情況下，任意兩個不同運算規則的空間中
若存在一個兩空間的映射，
那是不是存在一些條件，滿足後，
可以使被映射的物件(即function)在原空間的可微性
經過映射後，在另一個空間中的運算規則下也一定可微?
**也就是想知道數學上有沒有這樣的條件，先問有沒有，有的話再問是啥
要是沒有，那cauchy-riemann是特例嗎?
因為太多空間跟R的運算規則不同了，怎麼就只有C跟R^2之間有這樣關聯
※ 編輯: R2003 (39.14.24.214 臺灣), 03/06/2026 19:04:47
2F：→ wrvuxci : R^2可微+Cauchy Riemann可推出C的可微 03/06 19:01
3F：→ wrvuxci : 那可能要比較深的題材了，大學數學系範圍有講"可微" 03/06 19:10
4F：→ wrvuxci : 概念的基本上就R^n跟C，你要有四則運算才能定義可微 03/06 19:12
5F：→ wrvuxci : 基本上啦，再抽象化就是可能分析領域的研究了 03/06 19:13
6F：→ wrvuxci : 說不定有一些什麼normed space 或 Sobolev space也 03/06 19:19
7F：→ wrvuxci : 可以定義類似概念，我就不是很熟了 03/06 19:20
8F：推 wrvuxci : 或者說你要不要舉例你想的「其他空間」可能是哪些 03/06 23:56
其實沒有太多想法，單純是好奇
但真要舉其他空間的話，R^n 集合但不同norm組成的空間，例如p-norm (?)
當p=2時就是euclidean norm，那一樣R^n集合但採用其他norm的空間
又或是始終沒有完全看懂證明的Arzela-Ascoli theorem中作用的函數空間
或是...那個老師在高微時隨口提的Banach Space、Hilbert Space
(我完全不知道這倆有啥作用，
只知道定義分別是complete normed vector space 跟 complete inner product space)
9F：推 wallowes : 問了一下AI 03/07 00:25
10F：→ wallowes : 若在C可微則R^2可微 03/07 00:25
11F：→ wallowes : 但R^2可微C不一定可微 03/07 00:25
12F：→ wallowes : 因為C的證明是從任何角度逼近但R^2只從兩個方向逼近 03/07 00:26
蛤? R^2 你要從任何路徑方向逼近都可以啊，應該不是這樣吧(?)
R^2 從x=y 這條線也能逼近啊，也可以從x^2拋物線逼近啊
13F：→ wallowes : 不過AI有說C可微iffR^2可微 03/07 00:31
14F：→ wallowes : 但他說R^n(n>=3)之後，因為沒辦法保持角度 03/07 00:31
15F：→ wallowes : 只有在 2 維空間，向量的旋轉剛好可以用代數乘法完 03/07 00:32
16F：→ wallowes : 達，這才讓 Cauchy-Riemann 方程式成為可能。 03/07 00:33
17F：→ wallowes : 以上是Gemini的回答 03/07 00:34
我為啥感覺Gemini在胡謅?
依我記憶有點遙遠的線代，旋轉似乎都能用矩陣表示，
又矩陣某種意義上是係數的表示，那這樣不能用isomorphism去反推出來嗎?
還是我記錯了(?)
18F：→ wallowes : 我怎麼覺得Gemini比Chatgpt強很多的感覺 03/07 00:34
19F：→ wallowes : Chatgpt現在一直偷看我過往對話來猜測我的喜好... 03/07 00:34
※ 編輯: R2003 (39.14.24.214 臺灣), 03/07/2026 01:23:44
20F：→ wallowes : 中間漏字若滿足柯西黎曼方程式則C可微iffR^2可微 03/07 00:40
21F：推 wallowes : 所謂的R^2不是x是輸入y是輸出嗎? 03/07 01:27
22F：→ wallowes : 既然輸入端只能走x，所以只能從x兩端逼近來證明 03/07 01:27
23F：→ wallowes : 但z平面是同時以x,iy來表達輸入 03/07 01:28
24F：→ wallowes : 那就能從任何角度逼近 03/07 01:29
25F：→ wallowes : 應該是我搞錯了，AI糾正我了 03/07 01:34
26F：→ wallowes : 有點久沒碰複變分析了 03/07 01:35
27F：→ wallowes : 我想成了y=f(x) 03/07 01:40
28F：→ wallowes : AI是說，2維以上沒辦法有完美的乘除法 03/07 01:47
29F：→ wallowes : 所以那些導數定義在3維以上就不可行了 03/07 01:47
30F：→ wallowes : ">2維，不是2維以上" 03/07 01:48
31F：→ wallowes : AI說矩陣乘法不具備交換率，且矩陣沒有除法 03/07 01:55
32F：→ wallowes : 那導數連定義都沒辦法算 03/07 01:56
矩陣本身就是operator了，就像回到2x2矩陣代表2維送到2維的轉換
其實Cauchy-Riemann就是2x2 Jacobian的每個element 的一種特殊要求
而這剛好和某類旋轉矩陣一樣
我上面回應的疑問就是有沒有可能
透過isomorphism找出旋轉後去反推回jacobian?
33F：→ wallowes : 修正"是向量沒有除法" 03/07 01:56
※ 編輯: R2003 (39.14.24.214 臺灣), 03/07/2026 02:11:34
34F：→ mantour : 如果兩個空間可微性存在一個類似Cauchy-Riemann eq 03/07 16:50
35F：→ mantour : uation的關係式，那這個關係式是不是應該不只跟兩 03/07 16:50
36F：→ mantour : 空間的映射關係有關，還跟兩空間上各自導數的定義 03/07 16:50
37F：→ mantour : 有關？ 03/07 16:50
似乎是這樣，那這樣不就要看微分是不是有一般性的定義才能再討論?(我猜是有)
但本人道行尚不夠，只知道單複變的微分、單實變微分跟多實變微分的定義
不過我總覺得這問題在更抽象的物件中一定有答案，
不然只有R^2跟C有這關係也太剛好了...
※ 編輯: R2003 (39.14.24.214 臺灣), 03/07/2026 20:25:46
38F：→ wrvuxci : 我傾向認為是C的結構太特別 03/07 21:41
39F：→ jack7775kimo: Looman-Menchoff Theorem? 03/08 00:30
這還沒學到...但剛剛看了一下，應該不是，
看起來是比Cauchy-riemann condition更強
不要求拉到R^2處理後的偏導一定要連續，只要存在且原函數連續
那滿足C-R condition即C可微
※ 編輯: R2003 (39.14.24.214 臺灣), 03/08/2026 14:46:29
40F：推 sunev : 如果將「複可微」視為「實可微」加上「在複數乘法下 03/10 10:32
41F：→ sunev : 線性」，那你得先討論在「實可微」的條件上再加上 03/10 10:32
42F：→ sunev : 其它額外代數結構的可能。 03/10 10:33
不太懂，實可微不就隱含了在R^n集合上採用Euclidean norm的條件嗎?
這樣還要如何再加其他運算的代數結構?
不像是原始的vector space中有addition跟scalar multiplication
可以去定義任何的norm
又或是基於vector space弄出來的inner product space
況且R^n + Euclidean norm也會形成內積空間，
條件已經太強了，還可能再加新的結構上去嗎?
話說我在想我的問題似乎是有點給太強的要求?
會不會M跟S兩空間不能是任意，
而必須要先有一些 [不知道是甚麼的] 性質
才能來討論若存在映射下，保存可微性的條件?
我唯一猜的是一定要T2，不然沒法定義誤差收斂至單點
※ 編輯: R2003 (39.14.24.214 臺灣), 03/11/2026 19:19:55
43F：推 Vulpix : 複結構是強度很變態的條件。 03/11 19:59
44F：推 sunev : 我的意思是實可微隱含了線性，而複可微與R^2的不同 03/11 22:07
45F：→ sunev : 在於複可微額外要求對i這個常數線性，說到底你還是 03/11 22:07
46F：→ sunev : 得先定義清楚什麼是可微。 03/11 22:08
原來如此，不過學到現在就有3種微分的定義了(R、R^n以及C)
難道微分沒有一般化的定義方法嗎?
總不可能每到新的空間就重新定義一次微分、可微...等，然後重頭來過吧(?)
如果沒有，那我這問題好像就沒有解
但假設有，那我問題應該就是修正成
1) M以及S至少要具備[哪些性質]
可以在存在
2) 滿足[哪些條件]的phi時
讓定義在M空間X集合上的可微函數經過映射後，
於S空間Y集合上具有按照S空間運算規則定義出的可微性
想了一下，不太確定一些粗糙的想法:
針對1) M、S兩空間的拓樸至少都要T2 不然連收斂至單點都不行定義
X當然是定義出來的函數要符合M空間運算的可微(所以也一定連續)
Y則是定義在上的函數至少要連續(不代表一定可微)
---> 單純是可微imply連續 等價於 不連續imply不可微
--> 但這兩項可以說明X跟Y兩集合/子空間有啥性質?
函數可以定義連續，集合/子空間本身可以定義連續嗎?
connected? 但這只代表不存在A和B兩非空開集，交集為空且聯集為全
2) 從上面接續，phi至少是把連續函數轉換成連續函數
所以phi要連續?
---先想到這邊好了...
※ 編輯: R2003 (39.14.24.214 臺灣), 03/12/2026 00:40:04
47F：推 Vulpix : 我感覺你一直糾結在拓撲結構上，但複數系之所以特 03/13 10:53
大概是因為代數課一整學期大多時間都在講group
其他部分還需要再去翻書
而相對的，
拓樸課就是講很快，盡可能講，
但很多都因為"trivial"所以只講關鍵的證明部分
當下不一定全懂，可後來會或多或少有些印象
48F：→ Vulpix : 別是因為環運算，其中乘法結構最特殊。而且微分的 03/13 10:53
故，我對環只知道有兩個二元運算，其他好像沒了
49F：→ Vulpix : 定義幾乎都沒什麼變。 03/13 10:53
50F：→ Vulpix : 不會因為換空間，導數的定義就發生翻天覆地的變化 03/13 10:54
原來如此，所以關鍵就是助教最一開始提到的因為運算規則不同
但既然不會因換空間而有不同導數定義，
那這樣C跟R^2兩者關係不就更不可能是特例嗎? 還是我又哪裡搞混了...
※ 編輯: R2003 (39.14.24.214 臺灣), 03/13/2026 18:43:59
52F：→ sunev : 下面一點的Generalizations也可以看一下 03/13 19:08
53F：→ sunev : 拓撲雖然有公認的「連續」及「極限」定義，但「微分 03/13 19:10
54F：→ sunev : 」就沒有，部份原因是如果你希望有積分和微積分基本 03/13 19:11
55F：→ sunev : 定理，那你大概需要complete field，然後就把實數包 03/13 19:12
56F：→ sunev : 進來了。 03/13 19:12
57F：推 wrvuxci : 代數上的環不一定有拓樸，有也不一定完備(例:有理數 03/13 23:02
58F：→ wrvuxci : 一般拓撲空間上連加減法都沒有，完全不改定義的話就 03/13 23:03
59F：→ wrvuxci : 在空間上要有很好的結構，像R或C那樣 03/13 23:04
60F：→ wrvuxci : 這樣才能定義說導數是差商的極限 03/13 23:06
61F：→ wrvuxci : 前面提的Banach space, normed linear space其實也 03/13 23:10
62F：→ wrvuxci : 有over R跟over C的差別，假如你在某Banach space 03/13 23:12
63F：→ wrvuxci : over R上定了導數，連繫到另一個Banach space over 03/13 23:12
64F：→ wrvuxci : C的時候可能Cauchy-Riemann又會再出現 03/13 23:12
65F：→ wrvuxci : 能不能定我沒有那麼確定啦，詳細可以查一下 03/13 23:22
66F：→ wrvuxci : functional analysis那方面的書，但微分幾何跟複幾 03/13 23:22
67F：→ wrvuxci : 何之間的聯繫確是就是會看到Cauchy-Riemann 03/13 23:23
68F：推 cuylerLin : Cauchy-Riemann Equations 也沒有什麼特別的阿，如 03/14 02:17
69F：→ cuylerLin : 果導數存在若且惟若1）各個方向逼近的極限存在且2） 03/14 02:17
70F：→ cuylerLin : 前者所有極限相同。而 C-R 條件只是取實軸虛軸當特 03/14 02:17
71F：→ cuylerLin : 例而已。 03/14 02:17
72F：→ cuylerLin : 另，導數的等價定義也是可以在特定點的某個開球中對 03/14 02:22
73F：→ cuylerLin : 函數作一階線性近似，然後高階誤差會是一個小o函數 03/14 02:22
74F：→ cuylerLin : 。 03/14 02:22
75F：→ wrvuxci : 對，所以Banach space上可能可以定義導數，就是模仿 03/14 02:50
76F：→ wrvuxci : R^n甚至C^n 03/14 02:50
77F：→ wrvuxci : 至少到目前為止除了CR好像很少聽過其他實際例子，這 03/14 02:52
78F：→ wrvuxci : 樣還是有點特別吧(就是說這是一個很經典的例子 03/14 02:53
79F：推 Vulpix : 複數要說特別……能求導一次就直接突破到能展開成 03/14 03:56
80F：→ Vulpix : 冪級數吧。實函數連導數是否連續都還在未定之天。 03/14 03:56
81F：→ WINDHEAD : 你把不同的值域混唯一談了 03/17 11:25
82F：→ WINDHEAD : 複變函數是 R^2 -> R^2 , 多變數微積分是 R^n -> R 03/17 11:25
83F：→ WINDHEAD : 如果你對不同空間的複可微性質有興趣的話 03/17 11:27
84F：→ WINDHEAD : 可以參考 pseudo-holomorphic curve 03/17 11:27
85F：推 Vulpix : 我說的是導數的定義式，這個沒太多不同。所以公式 04/09 16:51
86F：→ Vulpix : 也差不多。但是內容已經不一樣了。 04/09 16:51