作者peter0122 (蠢草白癡多)
看板Math
標題[幾何] 用歐拉定理不就可以證明四色定律嗎
時間Mon May 4 10:58:54 2026
歐拉定理是不是已經證明了，
五個在同一個平面上不重疊的顏色，
不可能任一顏色都跟其他四個顏色都有相接？
那就代表，
必定有一個無法跟其他四個顏色都相接的顏色，
它頂多就只能跟三個顏色相接，
那這個顏色其實就可以換成那個跟它不相接的顏色，
這樣就是四個顏色，
也就滿足了是四色定律了
同理如果平面有無數個顏色，
任意取相鄰的五個顏色，
用歐拉定理就可以知道，
這五個顏色不會每個顏色都跟其他四個顏色都相接，
所以必定有一個顏色可以換成沒相接的那個顏色，
那這五個顏色，可以變成四個顏色，
也就滿足四色定律
那為什麼一直說四色定律無法用公式證明？
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1F：→ Ricestone : 因為地圖不只五塊啊 05/04 11:31
2F：→ mantour : 你一次只看5塊，換顏色的時候，怎麼確保不會跟這塊 05/05 11:28
3F：→ mantour : 相臨，但不在你選的那五塊的其他格撞色 05/05 11:28
4F：→ mantour : 任選5塊都可以用4色標成相鄰不同色，跟整張圖可以 05/05 11:30
5F：→ mantour : 同時用四色標成相鄰不同色是不同的命題 05/05 11:30
我可以反過來說嗎
歐拉定理證明只要是四個互相都相接的色塊，
肯定不會有第五個色塊與這四個色塊都相接
就算有第六個第七個或以上也一樣
所以四色就夠用
如果以上敘述是正確，
那放大到無限大的平面和無限多圖形，
上述也會成立
電腦跑出來的結果 不就證明了
※ 編輯: peter0122 (49.216.31.156 臺灣), 05/06/2026 17:10:10
6F：→ Ricestone : 你所說的事情就是不夠 把需要證明的部份省略掉了 05/06 18:33
7F：→ Ricestone : 用比較實際的例子說明，現在假設地圖有六塊，編為 05/06 18:34
8F：→ Ricestone : ABCDEF，你所講的就是說選ABCDE時可以用四色，而且 05/06 18:34
9F：→ Ricestone : 選ABCDF時也可以用四色，當然為了用色最少，這兩種 05/06 18:35
10F：→ Ricestone : 四色時我們都用同樣的四色且ABCD用的也都一樣 05/06 18:36
11F：→ Ricestone : 但這樣沒辦法直接推到合併時E跟F不會出問題 05/06 18:37
12F：→ Ricestone : 當然如果你繼續說「那就再換一下」，那當然會有成功 05/06 18:38
13F：→ Ricestone : 的結果，因為這是四色定理 但怎麼換就是需要證明的 05/06 18:38
14F：→ Ricestone : 部份 05/06 18:38
→ Ricestone : 我
前面講的還有個漏洞，就是這樣寫也不能保證兩次 05/06 19:06
15F：→ Ricestone : 的ABCD真的可以用同樣的四色 05/06 19:07
16F：→ Ricestone : 喔，ABCD都只有一塊的時候應該可以，我的意思是當 05/06 19:08
17F：→ Ricestone : 地圖更多塊時，單純的代換顏色可能行不通 05/06 19:09
我講的是已經被證明是事實的歐拉定理
這是一個數學原則，
在無限大的平面跟無限多的色塊
任何的局部如果是四色塊相鄰的話
就不會有第五個色塊跟這四色塊都相接
所以四色就夠用
就算有無數個相接四色塊有相鄰或重疊
也會遵守歐拉定理，不需要第五色
所以放大到整個平面都一樣
我講的是數學的原則
你講的是有可能的例外漏洞
但例外漏洞有發生嗎
你可以舉出一個任何例外漏洞出來嗎
電腦跑出來的結果不就是沒有例外漏洞嗎
18F：推 wrvuxci : 塗到的後面的時候，有可能某一塊的鄰域已經出現四個 05/07 11:16
19F：→ wrvuxci : 不同的顏色，儘管這四塊並不一定是彼此相鄰 05/07 11:17
※ 編輯: peter0122 (49.158.150.150 臺灣), 05/07/2026 13:56:42
20F：→ mantour : 這個定理正確 跟你的證明完備是兩件事 我們說的是 05/07 14:27
21F：→ mantour : 你的證明用到的某個推論缺乏根據，但是命題本身有 05/07 14:27
22F：→ mantour : 可能是對的 這種情況沒有反例不代表你的證明是正確 05/07 14:27
23F：→ mantour : 的 05/07 14:27
24F：→ mantour : 如果你需要電腦跑出來沒有漏洞才能支持你的命題正 05/07 14:28
25F：→ mantour : 確，那就是用電腦的結果才能完成這個證明，而不是 05/07 14:28
26F：→ mantour : 一個不需要電腦的證明了 05/07 14:28
27F：推 wrvuxci : 好像懂你的意思，但可能有個地方被混淆了。感覺你是 05/07 15:39
28F：→ wrvuxci : 在說，如果已經有一張地圖塗好了五種顏色，你可以用 05/07 15:40
29F：→ wrvuxci : 這可定理保證一個顏色可以換回其他四個中的一個？ 05/07 15:40
30F：→ wrvuxci : 但是如果這五個顏色的區域有一個不是連通的，例如紅 05/07 15:47
31F：→ wrvuxci : 色被塗到兩個分開的地方，那麼這個定理就不適用，減 05/07 15:48
32F：→ wrvuxci : 色的操作就無法確保成立 05/07 15:49
33F：→ Ricestone : 尤拉定理是尤拉定理 四色定理是四色定理 05/07 20:00
34F：→ Ricestone : 兩個都是定理 你講的東西的思路就是用尤拉證明四色 05/07 20:01
35F：→ Ricestone : 所以是你要去說明為什麼尤拉可以去「證明」四色 05/07 20:01
36F：→ Ricestone : 你現在的邏輯就是像「因為"1+1=2"，所以"二次互反律 05/07 20:04
37F：→ Ricestone : "是對的一樣 他們都是定理所以用電腦當然不會有例 05/07 20:04
38F：→ Ricestone : 外 05/07 20:04
39F：→ Ricestone : 不然其實你根本誤會了四色定理的電腦證明 05/07 20:05
40F：→ Ricestone : 即使是電腦證明也不是直接對無窮的狀態去做窮舉的 05/07 20:05
41F：→ Ricestone : 我們是先證明只需要驗證有限的狀況，再用電腦去弄 05/07 20:05
42F：→ Ricestone : 不然就是你沒有察覺到你的邏輯有問題，你講很多次 05/07 20:11
43F：→ Ricestone : 五塊可以，「所以」無數塊也可以 這邊的「所以」 05/07 20:12
44F：→ Ricestone : 並不是自然的邏輯推導 05/07 20:13
45F：→ Ricestone : 後面那句話就是四色定理，它的正確性直接來自四色定 05/07 20:14
46F：→ Ricestone : 理本身，而不是由你那句話的「所以」自然推導過來的 05/07 20:15
47F：→ Ricestone : 假設你想表達數學歸納法好了，你現在說的就是當n=5 05/07 20:19
48F：→ Ricestone : 時成立，然後就直接講n任意數都都成立了 05/07 20:19
49F：→ Ricestone : 數學歸納法需要證明的地方就是假設n=k時成立，再用 05/07 20:20
50F：→ Ricestone : n=k的基礎去證明n=k+1時也成立 我前面會說塊數更多 05/07 20:21
51F：→ Ricestone : 時直接代換顏色行不通就是指這裡會有問題 05/07 20:21
52F：→ Ricestone : 還是你沒有看懂ABCDEF的例子為什麼我說的操作會有 05/07 20:58
53F：→ Ricestone : 問題？ E跟F相鄰的話就會出錯了 05/07 20:58
54F：→ Ricestone : 所以你要證明的話得先弄出一個一般化都不會有問題的 05/07 21:00
55F：→ Ricestone : 六塊的操作方式，而且還得要更一般化到能夠證明k到 05/07 21:01
56F：→ Ricestone : k+1也不會有問題的操作方式 05/07 21:02
57F：→ Ricestone : 不然的話你就只是證明6塊時可以成立而已 05/07 21:02
58F：→ Ricestone : 當然，前面每個有限的階段你都可以說電腦跑都不會有 05/07 21:06
59F：→ Ricestone : 例外 這句話甚至用不到尤拉定理 05/07 21:07
60F：→ Ricestone : 但k到k+1這一步你要如何使用電腦驗證呢？ 05/07 21:07
61F：→ wrvuxci : 接續我前面的留言，因為你一直在說顏色相不相鄰，但 05/07 21:14
62F：→ wrvuxci : 定理敘述並不是「平面上的五個顏色不能兩兩相鄰」 05/07 21:15
63F：→ wrvuxci : 而是「平面上的五個連通區域不能兩兩相鄰」，如果允 05/07 21:16
64F：→ wrvuxci : 允許使用飛地的話，五個顏色兩兩相鄰是可能的 05/07 21:17
65F：→ Ricestone : 不然可能要反回去重新問原po的尤拉公式為什麼會得到 05/07 21:28
66F：→ Ricestone : 那樣的結論 不然尤拉公式直接證明的應該是五色定 05/07 21:29
67F：→ Ricestone : 理 05/07 21:29
68F：→ wrvuxci : Just to be clear 我主要都是回應原PO的內容而已 05/08 00:15
69F：→ hwanger : 這裡所說的地圖就是我們印象中的地圖, 而以下所提 05/08 14:17
70F：→ hwanger : 到的區域都直接假設是連通的, 並全部省去精準的定義 05/08 14:17
71F：→ hwanger : . 05/08 14:17
72F：→ hwanger : 注意到原 po 用 Euler characteristic 能夠證明的 05/08 14:17
73F：→ hwanger : 其實是下面這個命題: 05/08 14:17
74F：→ hwanger : """不存在一張平面的地圖、使其圖上至少有五個區域 05/08 14:18
75F：→ hwanger : 彼此有鄰邊相鄰""" 05/08 14:18
76F：→ hwanger : 然而這個命題並不顯然地等價於四色定理 05/08 14:19
77F：→ hwanger : (至少不是我們一般認為的等價、而非單純只是因為兩 05/08 14:19
78F：→ hwanger : 者皆為真所以等價) 05/08 14:19
79F：→ hwanger : 原 po 證明的漏洞在於錯誤地認為下面這個敘述是可以 05/08 14:20
80F：→ hwanger : 簡單得到的 05/08 14:20
81F：→ hwanger : (*) """如果有一張地圖不存在 m=5 個區域彼此有鄰 05/08 14:20
82F：→ hwanger : 邊相鄰, 則這張地圖只需要 m-1 個顏色即可著色""" 05/08 14:20
83F：→ hwanger : 觀察到原文後半段是應用 Euler 的性質來肯定 (*) 05/08 14:21
84F：→ hwanger : 的前件, 而非用來證明 (*) 本身, 並且原 po 對 (*) 05/08 14:21
85F：→ hwanger : 的論證和 m 是否為 5 是沒有關係的. 05/08 14:21
86F：→ hwanger : 但是 (*) 在 m=3 和 4 時是有反例的: 05/08 14:22
87F：→ hwanger : 將極座標平面用 θ=0, 2π/5, 4π/5, 6π/5, 8π/5 05/08 14:22
88F：→ hwanger : 五條射線分成 5 塊區域, 則你在這張地圖上是找不出 05/08 14:22
89F：→ hwanger : 3 個區域、使得其彼此之間皆有鄰邊相鄰, 可是這張 05/08 14:22
90F：→ hwanger : 地圖卻仍然需要至少 3 個顏色才能著色. 05/08 14:22
91F：→ hwanger : 而 m=4 的反例則只需在上述地圖中心再加一個圓盤即 05/08 14:23
92F：→ hwanger : 可 05/08 14:23
93F：→ hwanger : 題外話, 或許試著思考 Alfred Kempe 的證明錯誤在 05/08 14:23
94F：→ hwanger : 哪, 可以幫助原 po 釐清自己的證明哪裡不足 05/08 14:23