課程名稱︰微積分甲下 課程性質︰系必修 課程教師︰楊維哲 開課學院：理學院 開課系所︰數學系 考試日期（年月日）︰2009年4月23日 考試時限（分鐘）：110分鐘 是否需發放獎勵金：是 （如未明確表示，則不予發放） 試題 : A. Let S1 be a unit circle in R^2, a=(1,0), and S2 the unit sphere in R^3. (a) (30 points) Compute ∮ log(|x-a|)dl, where dl is the length element. S1 k (b) (10 points) Compute ∮ |x-a| dA, where k is any integer, dA the area S2 element. x 是S1或S2上的點，b小題的a是(1,0,0)。 B. Compute the following line integrals. y x (a) (10 points) ∫ --------- dx - --------- dy, Γ is given on black board. Γ x^2+y^2 x^2+y^2 Γ: r=1+(1/2)sin(3θ/4), 0≦θ≦4π (b) (10 points) ∫ (x^2+y)dx+(x-y^2)dy, Γ: x^2/4 + y^2/5 = 1. Γ (c) (10 points) ∫ (x^2+y^2)dl, Γ: x=cos(t)+sin(t), y=sin(t)-cos(t), Γ 0≦t≦2π. (d) (10 points) ∫ |y|dl, Γ: r = exp(3θ), -∞≦θ≦0. C. Compute the integrals ∫ u‧dl, where u and Γ are given. Γ (a) (10 points) u=(3x^2+6y)i-14yzj+20xz^2k, Γ: x=t, y=t^2, z=t^3, 0≦t≦1. (b) (10 points) u=(4x^3 cos(y)-y^3 exp(-x))i+(3y^2 exp(-x)-x^4 sin(y))j, Γ is given on black board. 綠色的基本上是向量(場) Γ是兩個同心圓(圓心在原點)中間用線連起來，就像粗體 C 的外框。 D. (15 points) Find the value of ∫∫∫(x^2+5y^2+2z^2+4xy+2yz+1) dxdydz, D where D: (x+2y)^2+(y+z)^2+z^2≦1. E. (15 points) Find all critical points of f(x,y)=xsin(y) in R^2, Are this points local maxima, local minima, or saddle? --

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