想請教一下 r,θ,z座標的旋度 其中 ︱(e_r) r(e_θ) (e_z)︱ (e_r)為r方向單位向量 ︱ ︱ (e_θ)為θ方向單位向量 1 ︱ P P P ︱ (e_z)為z方向單位向量 Curl(V) = ---︱---- ---- ---- ︱ r ︱ Pr Pθ Pz ︱ ︱ ︱ ︱(V_r) r(V_θ) (V_z)︱ 是否也有相似的方法可以直觀的推導出來 ※ 引述《caseypie (吟遊詩人)》之銘言： : 3. 接著來導散度： : 散度的定義，就是一個向量場，於空間中一點的向外發散量 : 直觀起見，先求一小量空間的發散量，則此發散量必定等於梯度乘以該小量空間 : 極座標下，小量空間為： : dr．rdθ．rsinθdφ = (r^2)sinθdrdθdφ : 此小量空間有六個面，分三組，分別為： : (1)法向量±r方向 ： rdθ．rsinθdφ = (r^2)sinθdθdφ : (2)法向量±θ方向： dr．rsinθdφ = rsinθdrdφ : (3)法向量±φ方向： dr．rdθ = rdrdθ : 所以，某向量（A_r , A_θ , A_φ），沿著這三個方向的發散量分別為： : ±F_r = ±(A_r)(r^2)sinθdθdφ , ±r 方向 : ±F_θ = ±(A_θ)rsinθdrdφ , ±θ方向 : ±F_φ = ±(A_φ)rdrdθ , ±φ方向 : 但是，以±r方向方向為例，兩個平面之間又有dr的差別，因此發散量又有變化 : 所以，整個小量空間的總發散量為： : (-F_r) + (F_r + d(F_r )) : + (-F_θ)+ (F_θ+ d(F_θ)) : + (-F_φ)+ (F_φ+ d(F_φ)) : = d(F_r ) + d(F_θ) + d(F_φ) : P((A_r)(r^2)) P((A_θ)sinθ) P(A_φ) : = sinθdθdφ---------------dr + rdrdφ---------------- + rdrdθ--------- : Pr Pθ Pφ : 1 P((A_r)(r^2)) 1 P((A_θ)sinθ) 1 P(A_φ) : = {----.--------------- + ------.---------------- + ------.---------}．dτ : r^2 Pr rsinθ Pθ rsinθ Pφ : = div(A)．dτ : 礙於空間，dτ = (r^2)sinθdrdθdφ即為小量空間 : 所以div(A) : 1 P((A_r)(r^2)) 1 P((A_θ)sinθ) 1 P(A_φ) : = ----.--------------- + ------.---------------- + ------.--------- : r^2 Pr rsinθ Pθ rsinθ Pφ --

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