作者wohtp (會喵喵叫的大叔)
看板Physics
標題Re: [問題] 因次分析中,為何等式左邊與右邊因次須同?
時間Sat Sep 20 19:16:39 2014
直接回一篇。
因次的數學結構就是這樣。
我把該定義的都定義了，沒定義的就是沒有。
因次本來就不是體，更不是實
數，不需要滿足實數的性質。
假設我們在做一維運動學，因次有長度（公尺）、時間（秒）和質量（公斤）。
對長度我定義一個可交換群 L，其元素為 { (m)^r | r∈R }
群的乘法是 (m)^a * (m)^b = (m)^(a+b)
對時間我定義一個可交換群 T，其元素為 { (s)^r | r∈R }
群的乘法是 (s)^a * (s)^b = (s)^(a+b)
對質量我定義一個可交換群 M，其元素為 { (kg)^r | r∈R }
群的乘法是 (kg)^a * (kg)^b = (kg)^(r+s)
然後我定義
G = L x T x M，就是以上三個群的直積。
另外，把 G 的單位元素 (m)^0 (s)^0 (kg)^0 標記為 I。
最後，我定義所有「物理量」的集合為 { rg ≡ (r, g) | for all r∈R, g∈G }
並且定義以下運算：
1. 加法：
ag + bg = (a+b)g
2. 乘法：
(ag)*(bh) = (ab)(gh)
3. 實數乘法：
b * (ag) = (a*b)g
4. 實數除法：
(ag) ÷b = (a/b)g
如果要求模型裡所有的東西都必須是物理量，即使是無因次的數字 k 也必須
變成 (k, I) 的話，(3)和(4)是不必要的。
如果我們要處理運動學以外的問題，G 的定義也要相對的加大。
例如說要做電磁學，就要再多乘一個電荷的子群進去（或電流，隨你高興）。
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所以你可以說 3 = 3，但是絕對不能說 (3, g) = (3, h)。
至於你那個 三個蘋果 = 三個橘子，則是取 G = 蘋 x 橘 x 個數
蘋 = { (蘋果)^r | r ∈ R }, ...
橘 = { (橘子)^r | r ∈ R }, ...
個數 = { (個)^r | r ∈ R }, ...
然後做
(3, 蘋果) * (1, (蘋果)^(-1) (個) ) = (3, 個)
= (3, 橘子) * (1, (橘子)^(-1) (個) )
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※ 編輯: wohtp (123.110.141.102), 09/20/2014 19:18:26
※ 編輯: wohtp (123.110.141.102), 09/20/2014 19:20:17
※ 編輯: wohtp (123.110.141.102), 09/20/2014 19:35:58
※ 編輯: wohtp (123.110.141.102), 09/20/2014 19:43:26
1F：推 contaminate: 為何我這篇看不是很懂Q 09/20 21:01
怪我嘍 ╮(╯_╰)╭
因為原po一直在跟我扯因次和單位不可以是數學模型的一部分，我才生個
數學定義出來給他看。我定義的就是大家天天在用的東西，不多不少。
※ 編輯: wohtp (123.110.141.102), 09/20/2014 21:17:25
2F：推 Entropy1988: 的確 09/21 10:04
3F：→ contaminate: 只好再看一次了 09/21 14:00
4F：推 wgst88w: 好正規的數學表示法 ^^" 09/21 15:56
5F：推 louis925: 原po 是數學系的嗎XDD 第一次看到這麼正經的定義物理量 09/23 14:02
啊念物理的就不能懂一點點抽象代數嗎？
而且其實這個定義不太好，因為我要拉到物理量這個層次才能做單位變換。
※ 編輯: wohtp (123.110.141.102), 09/23/2014 17:19:17