※ 引述《rfdgrfdg (Waiting)》之銘言： degf(x)=100 f(1)=1 f(2)=1/2 f(3)=1/3 ... f(101)=1/101 求f(102)=? 相信大家看到這裡都會有個直覺性的答案f(102)=1/102 不過f(x)=1/x並不是多項式耶 冏mmm 這題我幾乎沒有頭緒 用拉格郎奇法也拉不出來 這是高一的段考題 o.O! ------------------------------------------------------------------------ 我先說,我沒算出答案 只算出了f(x)... -------------------------------分隔線----------------------------------- 首先, 由f(1)=1 可得:f(x)=(x-1)q1(x)+1 -----(1) 再將x=2代入:f(2)=q1(2)+1=1/2 → q1(2)=-1/2 得q1(x)=(x-2)q2(x)-1/2 然後將q2(x)代入(1)式 整理可得:f(x)=(x-1)(x-2)q2(x)-(1/2)(x-1)+1 接著,用以上的方法 將x=3,x=4,x=5............x=100代入 (因為degf(x)=100,所以代到100就好) 其實我的算術很弱又很慢又很懶 所以我只代到x=4 然後就發現一件神奇的規律 但是我沒有欣喜的感覺,反而落下了男兒淚 因為規律如下: f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)q4(x) -(1/24)(x-1)(x-2)(x-3) +(1/6)(x-1)(x-2) -(1/2)(x-1) +1 所以 最後代到x=100時,應該會得到: f(x)=a(x-1)(x-2)......(x-100) -(1/100!)(x-1)(x-2)......(x-99) +(1/99!)(x-1)(x-2)......(x-98) ... ... ... -(1/4!)(x-1)(x-2)(x-3) +(1/3!)(x-1)(x-2) -(1/2!)(x-1) +1 然後把x=101代入,即可求得a=1/101! a很好求,因為第二項會等於最後一項;第三項等於倒數第二項...以此類推 接下來題目要的f(102)...就是一連串的 分母為兩個階乘,然後一正一負一正一負的sigma了... f(102)=101!/101!-101!/(2!*100!)+101!/(3!*99!).......-101!/(100!*2!)+1 這... 希望有強者能包下這個龐大的工程 或是 點出我哪裡步驟發生錯誤了(讓我趕快刪文免得丟臉XD) 或者 直接遞上速解法造福大家XDDDDD 沒能解出答案 請各位見諒QQ --

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