※ 引述《LuisSantos (^______^)》之銘言： : ※ 引述《feathersss (不定)》之銘言： : : 請教幾題 : : 1.設一曲面其方程式為xy+yz+zx-x-z^2=0， : : 則此曲面上以xy平面為其切平面的點，其坐標為? : : 2.試証2/π < sinx < x，當0 < x < π/2 : ^^^^ : 題目應該是(2/π)*x 吧 : 這個左半邊2/π < sinx該怎麼做呢? : 令 f(x) = sinx - (2/π)*x : f'(x) = cosx - (2/π)*x : f''(x) = -sinx < 0 恆成立 : 所以 f(x) 在 0 < x < π/2 時為凸函數 : 且 f(0) = f(π/2) = 0 所以 f(x) > 0 : 即 sinx - (2/π)*x > 0 , sinx > (2/π)*x : 3.在10-1/150，10-1/100，10-1/200之三數中，哪一個數與998^(1/3)最接近? 設 f(x) = x^(1/3) , x =1000 f'(x) = (1/3)*x^(-2/3) Δx = -2 因為 f(x + Δx) ≒ f(x) + f'(x)*Δx 所以 998^(1/3) ≒ 1000^(1/3) + (1/3)*[(1000)^(-2/3)]*(-2) = 10 + (1/3)*(1/100)*(-2) =10 - (1/150) 所以 10 -(1/150) 最為接近 4.方程式：2x+y=1及(1+h)x+h^2y=1表相交於一點之兩直線，當h趨近於1時， : : 此交點之極限位置為? 2x+y=1 ------------(1) (1+h)x+h^2y=1------(2) (1)*(h^2) - (2) => (2*h^2 -h - 1)x = h^2 -1 => x = (h + 1)/(2h +1) (1)*(1 + h) - (2)*2 => (1 + h - 2*h^2) = h - 1 => y = (-1)/(2h + 1) h +1 -1 2 -1 (x,y) = ( lim ------- lim -------- ) = ( --- --- ) h->1 2h +1 , h->1 2h + 1 3 , 3 : : 5.平面上介於y(x^2+1)=x及xy=1兩曲線之間，且值於直線x=1右方的區域的面積=? : : y(x^2+1)=x的面要怎麼畫呀? 6.若A為拋物線y=6x-x^2及直線y=x所圍成的封閉區域，則A的形狀中心為? 不懂形狀中心是什麼意思? ∫∫xdA ∫∫ydA R R 形狀中心 = ( --------- ---------- ) A , A 5 6x-x^2 A = ∫ ∫ dydx 0 x 5 |y = 6x-x^2 = ∫ y | dx 0 |y = x 5 5 1 |5 125 = ∫ (5x - x^2) dx = ( ---x^2 - ---x^3)| = ----- 0 2 3 |0 6 5 6x-x^2 ∫∫xdA = ∫ ∫ xdydx R 0 x 5 |y = 6x-x^2 = ∫ x*y | dx 0 |y = x 5 = ∫ (5*x^2 - x^3) dx 0 5 1 |5 625 = ( ---x^3 - ---x^4)| = ----- 3 4 |0 12 5 6x-x^2 ∫∫ydA = ∫ ∫ ydydx R 0 x 5 1 |y = 6x-x^2 = ∫ (---)*y^2 | dx 0 2 |y = x 1 5 = (---)*∫ [(6x - x^2)^2 - x^2] dx 2 0 1 5 = (---)*∫ (x^4 - 12*x^3 + 35*x^2) dx 2 0 1 1 35 |5 = (---)*(---x^5 - 3*x^4 + ----x^3)| 2 5 3 |0 1 4375 625 = (---)*(625 - 1875 + ------) = ----- 2 3 6 625 625 ----- ----- 12 6 5 所以形狀中心 = ( ----- , ----- ) = ( --- , 5 ) 125 125 2 ----- ----- 6 6 --

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