※ 引述《beatitude (何時能入物理系?)》之銘言： : ※ 引述《hwujialuen (松原拓)》之銘言： : : Evaluate the surface integral : : 1 ∫ ∫xy dS : : S : : S is the boundary of the region enclosed by the cylinder : : x^2 +z^2=1 and the planes y=0 and x+y =2 : x=x , y=y , z=√(1-x^2) : 1 : J = ---------- : √(1-x^2) : 1 2-x xy : ∫ ∫xy dS = ∫ ∫ ---------- dydx : S -1 0 √(1-x^2) : 1 x(2-x)^2 : = ∫ ------------ dx : -1 2 √(1-x^2) : 1 x^3 - 4x^2 + 4x : = ∫ -------------------- dx : -1 2 √(1-x^2) : 1 (-2) x^2 : = ∫ ------------- dx (奇函數消掉) : -1 √(1-x^2) : let x=sint : pi/2 pi/2 : = ∫ (-2) (sint)^2 dt (因為 ∫ (sint)^2 +(cost)^2 dt : -pi/2 -pi/2 : pi/2 : 1 = ∫ 1 dt = pi ) : = (-2)(---)(pi) -pi/2 : 2 : = -pi : 最後因為有上下兩面(z>0,z<0) 所以要乘2 少算了 S1: y=0 ,S2: x+y=2 兩個面 補算: ∫ ∫ xy dS = ∫∫0 dS = 0 S1 S1 ----------------------------------- x=x , y=2-x , z=z J = √2 ∫ ∫ xy dS = ∫∫x(2-x)√2 dxdz S2 S2 2pi 1 = √2 ∫ ∫ rsint(2-rsint) rdrdt 0 0 2pi 2 1 =√2 ∫ ---sint - ---(sint)^2 dt 0 3 4 -1 1 -√2 = √2(---)(---)(2pi) = -----pi 4 2 4 : ans:"可能是" -2pi : : 2 Evaluate the surface integral ∫ ∫F dS : : S : : F(x,y,z)=yj -zk : : S consists of the paraboloid y= x^2 +z^2 ,0<y<1 ,and the : : disk x^2 +z^2 ≦1 ,y=1 : 這題用div ∫∫∫(1-1)dv = 0 : V : : 3 ∫ ∫(x^2 +y^2 +z^2)dS : : S : : S consists of the cylinder in Exercise 10 together with : : its top and bottom disks : : Exercise10: S is the part of the cylinder x^2 +y^2=9 : : between the planes z=0 and z=2 : S = S1 + S2 + S3 : let S1:surface of the cylinder x^2 +y^2=9 : S2:the planes z=0 between cylinder x^2 +y^2=9 : S3:the planes z=2 between cylinder x^2 +y^2=9 : ∫ ∫(x^2 +y^2 +z^2)dS : S1 : 2pi(3) 2 : = ∫ ∫ 9 + z^2 dzds : 0 0 : = (18+ 8/3)6pi : ∫ ∫(x^2 +y^2 +z^2)dS : S2 : = ∫ ∫ x^2+y^2 dS : S2 : 2pi 3 : = ∫ ∫ r^2 rdr dt : 0 0 : = (81/4)2pi : ∫ ∫(x^2 +y^2 +z^2)dS : S3 : = ∫ ∫ x^2+y^2 + 4 dS : S3 : 2pi 3 : = ∫ ∫ (r^2 + 4 )r drdt : 0 0 : = (81/4 + 18)2pi --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 218.168.242.213