※ 引述《ilovecurl (ilovecurl)》之銘言： : ※ 引述《ilovecurl (ilovecurl)》之銘言： : : 5 √(25-x^2) √(25-x^2-y^2) : : ∫∫ ∫ 1/(1+x^2+y^2+z^2)dzdydx : : 0 0 0 : 以下是研究過後寫的解法...不知道對不對,因為φ和Θ的積分範圍我不知道對不對 : ,應該如何選則呢,高手幫忙看一下吧,謝謝! : 令x=ρsinφcosΘ; y=ρsinφsinΘ; z=ρcosφ : Jacobian=(ρ^2)sinφ x^2+y^2+z^2=ρ^2 : 2π π 5 : 原式=∫ ∫ ∫ (1/ρ^2)*(ρ^2)sinφdρdφdΘ : 0 0 0 : 2π π 2π : =∫ ∫ 5sinφdφdΘ =∫ 10 dΘ =20π : 0 0 0 這一題的Θ和φ的範圍取錯了 應該是 0≦Θ≦π/2 , 0≦φ≦π/2 π/2 π/2 5 (ρ^2)(sinφ) 因此原式 = ∫ ∫ ∫ ----------------- dρdφdΘ 0 0 0 1 + ρ^2 π/2 π/2 5 ρ^2 = (∫ 1 dΘ)(∫ sinφ dφ)(∫ ---------- dρ) 0 0 0 1 + ρ^2 π 5 1 = (---)(1)(∫ 1 - ---------- dρ) 2 0 1 + ρ^2 π -1 |5 = (---)(ρ - tan ρ | ) 2 |0 π -1 = (---)(5 - tan 5) 2 : : 還有這題 : : ∫∫y/(x^2+y^2)dA,where R is the triangle bounded by y=x,y=2x,x=2 : : R : : 請高手幫忙,謝謝! : 這題則是寫成 : 2 y 4 2 : ∫∫ y/(x^2+y^2)dxdy + ∫∫ y/(x^2+y^2)dxdy : 0 y/2 2 y/2 : 2 |y 4 |2 : =∫ arctan(x/y)| dy + ∫ arctan(x/y)| dy : 0 |y/2 2 |y/2 : 2 4 : =∫ π/4 - arctan(1/2)dy + ∫ arctan(2/y) - arctan(1/2)dy : 0 2 : 4 : 然後 ∫ arctan(2/y)dy 用令u=arctan(2/y)代入,再用分部積分如下 : 2 : 4 arctan(1/2) |arctan(1/2) |arctan(1/2) : ∫arctan(2/y)dy = 2∫ - u(cscu)^2 du =2(ucotu| + ln|cscu|| ) : 2 π/4 |π/4 |π/4 : =4arctan(1/2)-(π/2)+ln(5/2) : 而原式則成為 π-(π/4)+4arctan(1/2)-(π/2)+ln(5/2)-(π/4)=4arctan(1/2)+ln(5/2) : 即為答案 : 打了很久,也算了很久,真的希望好心的大大幫我看看對不對,謝謝! --

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