作者LuisSantos (^______^)
看板trans_math
標題Re: [積分]
時間Tue Feb 20 20:28:40 2007
※ 引述《king911015 (早已放棄愛上你)》之銘言：
: 1.
: d π
: --- ∫ sinxy dy =?
: dx 0
: 2.
: y dt 1 d^2 y
: 令 X = ∫ -------------- 則 --- ------- = ?
: 0 √(1 + 4t^2) , y dx^2
: 3.
: 1
: ∫ ∣X^2 - KX∣dx 有最小值，則k =?
: 0
1
∫ |x^2 - kx| dx
0
k 1
= ∫ |x^2 - kx| dx + ∫ |x^2 - kx| dx
0 k
k 1
= ∫ -(x^2 - kx) dx + ∫ (x^2 - kx) dx
0 k
(0 ≦ x ≦ k => 0 ≦ x^2 ≦ kx => x^2 - kx ≦ 0 => -(x^2 - kx) ≧ 0)
(k ≦ x ≦ 1 => kx ≦ x^2 ≦ x => x^2 - kx ≧ 0)
k 1
= ∫ (-x^2 + kx) dx + ∫ (x^2 - kx) dx
0 k
-x^3 k |k x^3 k |1
= ------ + (---)(x^2) | + (----- - (---)(x^2)) |
3 2 |0 3 2 |k
-k^3 k 1 k k^3 k
= ------ + (---)(k^2) + ((--- - ---) - (----- - (---)(k^2)))
3 2 3 2 3 2
-k^3 k^3 1 k k^3 k^3
= ------ + ----- + --- - --- - ----- + -----
3 2 3 2 3 2
k^3 k 1
= ----- - --- + ---
3 2 3
k^3 k 1
令 f(k) = ----- - --- + ---
3 2 3
1
則 f'(k) = k^2 - --- , f"(k) = 2k
2
1 1 ±1
令 f'(k) = 0 , 則 k^2 - --- = 0 => k^2 = --- => k = ------
2 2 √2
1
因為 0 ≦ k ≦ 1 , 所以 k = -----
√2
1 1
f"(-----) = (2)(-----) = √2 > 0
√2 √2
1 1
因此當 k = ----- 時 , ∫ |x^2 - kx| dx 有最小值
√2 0
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◆ From: 61.66.173.21