作者LuisSantos (^______^)
看板trans_math
標題Re: [極限] 請問一題極限 ...該如何下手!?
時間Tue Apr 3 14:36:04 2007
※ 引述《ahongyeh (小葉子)》之銘言：
: １
: －
: Ｘ
: (1+Ｘ) －ｅ
: lim ──────
: X→0 Ｘ
: ｅ
: 答案是： －－
: ２
: 請問一下...怎麼算出來的呢!?
(1 + x)^(1/x) - e
求 lim -------------------
x→0 x
解： (1 + x)^(1/x)
= e^(ln((1 + x)^(1/x)))
d
----((1 + x)^(1/x))
dx
d
= ----(e^(ln((1 + x)^(1/x))))
dx
d
= (e^(ln((1 + x)^(1/x))))(----(ln((1 + x)^(1/x))))
dx
d 1
= ((1 + x)^(1/x))(----((---)(ln(1 + x))))
dx x
-ln(1 + x) 1 1
= ((1 + x)^(1/x))(------------ + (---)(-------))
x^2 x 1 + x
-(1 + x)(ln(1 + x)) + x
= ((1 + x)^(1/x))(--------------------------)
(x^2)(1 + x)
(1 + x)^(1/x) - e 0
lim ------------------- (---)
x→0 x 0
1 -(1 + x)(ln(1 + x)) + x
= lim (---)((1 + x)^(1/x))(--------------------------)
x→0 1 (x^2)(1 + x)
(1 + x)(ln(1 + x)) - x
= (-1)(lim (1 + x)^(1/x))(lim ------------------------)
x→0 x→0 (x^2)(1 + x)
ln(1+x) + (1+x)(1/(1+x)) - 1
= (-1)(lim e^(ln((1 + x)^(1/x))))(lim ------------------------------)
x→0 x→0 (2x)(1 + x) + x^2
ln(1+x) + 1 - 1
= (-1)(e^(lim ln((1 + x)^(1/x))))(lim ---------------------)
x→0 x→0 2x + (2)(x^2) + x^2
ln(1 + x) ln(1 + x)
= (-1)(e^(lim -----------))(lim ---------------)
x→0 x x→0 2x + (3)(x^2)
1/(1 + x) 1/(1 + x)
= (-1)(e^(lim -----------))(lim ------------)
x→0 1 x→0 2 + 6x
1 1
= (-1)(e^(lim -------))(lim -----------------)
x→0 1 + x x→0 (1 + x)(2 + 6x)
1 1
= (-1)(e^(-------))(----------------)
1 + 0 (1 + 0)(2 + 0)
-e
= ----
2
--
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