※ 引述《spysea ()》之銘言： : http://www.lib.ntu.edu.tw/exam/undergra/88/88020.htm : 請問一下各位大大 : 第一大題的 : 第3題和第8題 : 還有第二大題的A.B : 要怎嚜算呢 : 謝謝解答 二、計算題 ∞ B. 設 α > 0 且 β 為一不等於0的實數時 , 求暇積分 ∫ (e^(-αt))(sin(βt)) dt 0 的值。(其值以α及β的式子表出。) 解： ∫(e^(-αt))(sin(βt)) dt -1 -1 = (---)(e^(-αt))(cos(βt)) - ∫(---)(cos(βt))(-α)(e^(-αt)) dt β β (令 u = e^(-αt) , dv = sin(βt) dt) -1 (則 du = (-α)(e^(-αt)) dt , v = (---)(cos(βt))) β -1 α = (---)(e^(-αt))(cos(βt)) - (---)(∫(e^(-αt))(cos(βt)) dt) β β -1 = (---)(e^(-αt))(cos(βt)) β α 1 1 - (---)((---)(e^(-αt))(sin(βt)) - ∫(---)(sin(βt))(-α)(e^(-αt)) dt) β β β -1 α = (---)(e^(-αt))(cos(βt)) - (----)(e^(-αt))(sin(βt)) β β^2 α^2 - (------)(∫(e^(-αt))(sin(βt)) dt) β^2 α^2 (1 + ------)(∫(e^(-αt))(sin(βt)) dt) β^2 -1 α = (----)(e^(-αt))(cos(βt)) - (----)(e^(-αt))(sin(βt)) β β^2 β^2 + α^2 (-------------)(∫(e^(-αt))(sin(βt)) dt) β^2 -1 α = (----)(e^(-αt))(cos(βt)) - (----)(e^(-αt))(sin(βt)) β β^2 ∫(e^(-αt))(sin(βt)) dt -β α = (-----------)(e^(-αt))(cos(βt)) - (-----------)(e^(-αt))(sin(βt)) + c α^2 + β^2 α^2 + β^2 ∞ ∫ (e^(-αt))(sin(βt)) dt 0 R = lim ∫ (e^(-αt))(sin(βt)) dt R→∞ 0 (-β)(e^(-αt))(cos(βt)) (α)(e^(-αt))(sin(βt)) |R = lim (-------------------------) - (------------------------) | R→∞ α^2 + β^2 α^2 + β^2 |0 α = ----------- α^2 + β^2 註 |cos(βR)| ≦ 1 0 ≦ |(e^(-αR))(cos(βR))| ≦ |e^(-αR)| lim 0 ≦ lim |(e^(-αR))(cos(βR))| ≦ lim |e^(-αR)| R→∞ R→∞ R→∞ 因為 lim 0 = 0 = lim |(e^(-αR))| R→∞ R→∞ 所以由夾擠定理得 lim |(e^(-αR))(cos(βR))| = 0 R→∞ lim (e^(-αR))(cos(βR)) = 0 R→∞ -β (------------)( lim (e^(-αR))(cos(βR))) = 0 α^2 + β^2 R→∞ |sin(βR)| ≦ 1 0 ≦ |(e^(-αR))(sin(βR))| ≦ |e^(-αR)| lim 0 ≦ lim |(e^(-αR))(sin(βR))| ≦ lim |e^(-αR)| R→∞ R→∞ R→∞ 因為 lim 0 = 0 = lim |e^(-αR)| R→∞ R→∞ 所以由夾擠定理得 lim |(e^(-αR))(sin(βR))| = 0 R→∞ lim (e^(-αR))(sin(βR)) = 0 R→∞ -α (-----------)( lim (e^(-αR))(sin(βR))) = 0 α^2 + β^2 R→∞ --

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