作者LuisSantos (^______^)
看板trans_math
標題Re: [積分]請問一些部份積分
時間Fri Oct 5 18:55:56 2007
※ 引述《kissmeeggy (eggy)》之銘言：
: 7-x-2x^2
: 一: ∫---------------- dx
: (x-1)^2(x^2+x+2 )
: x^3+4x^2-4x-1
: 二: ∫-----------------dx
: (x^2+1)^2
x^3 + (4)(x^2) - 4x - 1 Ax + B Cx + D
令 ----------------------- = ------- + -----------
(x^2 + 1)^2 x^2 + 1 (x^2 + 1)^2
x^3 + (4)(x^2) - 4x - 1 = (Ax + B)(x^2 + 1) + (Cx + D)
= (A)(x^3) + (B)(x^2) + (A + C)(x) + (B + D)
A = 1 ------(1)
B = 4 ------(2)
A + C = -4 ------(3)
B + D = -1 ------(4)
(1)代入(3)得 1 + C = -4 => C = -5
(2)代入(4)得 4 + D = -1 => D = -5
x^3 + (4)(x^2) - 4x - 1 x + 4 -5x - 5
----------------------- = --------- + -------------
(x^2 + 1)^2 x^2 + 1 (x^2 + 1)^2
x^3 + (4)(x^2) - 4x - 1
∫----------------------- dx
(x^2 + 1)^2
x + 4 -5x - 5
= ∫------- + ----------- dx
x^2 + 1 (x^2 + 1)^2
x 1 x
= ∫------- dx +(4)(∫------- dx) -(5)(∫----------- dx)
x^2 + 1 x^2 + 1 (x^2 + 1)^2
1
- (5)(∫----------- dx)
(x^2 + 1)^2
1 -1 1 1 1
= (---)(ln(x^2 + 1)) + (4)(tan (x)) - (5)(---)(---)(-------)
2 2 -1 x^2 + 1
1
- (5)(∫(-------------)((secΘ)^2) dΘ)
((secΘ)^2)^2
1 -1 5 1 1
= (---)(ln(x^2 + 1)) + (4)(tan (x)) + (---)(-------) - (5)(∫--------- dΘ)
2 2 x^2 + 1 (secΘ)^2
1 -1 5 1
= (---)(ln(x^2 + 1)) + (4)(tan (x)) + (---)(-------) - (5)(∫(cosΘ)^2 dΘ)
2 2 x^2 + 1
1 -1 5 1 1 + cos2Θ
= (---)(ln(x^2 + 1)) + (4)(tan (x)) + (---)(-------) - (5)(∫---------- dΘ)
2 2 x^2 + 1 2
1 -1 5 1
= (---)(ln(x^2 + 1)) + (4)(tan (x)) + (---)(-------)
2 2 x^2 + 1
5 1
- (---)(Θ + (---)(sin(2Θ))) + c
2 2
1 -1 5 1
= (---)(ln(x^2 + 1)) + (4)(tan (x)) + (---)(-------)
2 2 x^2 + 1
5 -1
- (---)(tan (x) + (sin(Θ))(cos(Θ))) + c
2
1 -1 5 1
= (---)(ln(x^2 + 1)) + (4)(tan (x)) + (---)(-------)
2 2 x^2 + 1
5 -1 1 x
- (---)(tan (x) + (-----------)(-----------)) + c
2 √(x^2 + 1) √(x^2 + 1)
1 3 -1 5 1 5 x
= (---)(ln(x^2 + 1)) + (---)(tan (x)) + (---)(-------) - (---)(-------) + c
2 2 2 x^2 + 1 2 x^2 + 1
1 3 -1 5 1 - x
= (---)(ln(x^2 + 1)) + (---)(tan (x)) + (---)(-------) + c
2 2 2 x^2 + 1
: x
: 三: ∫---------------dx
: (x+1)^2(x^2+1)
: x^2+2x-1
: 四: ∫-------------dx
: 2x^3+3x^2-2x
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.119.27.58