作者josephw (Shower the People)
看板trans_math
標題Re: [積分] 一題積分
時間Mon Nov 19 14:18:47 2007
※ 引述《SCJhang (SCJhang)》之銘言：
: 請問如何證明下式：
: p-1
: ∞ x π
: ∫ ────dx = ────
: 0 1+x sinpπ
: 煩請板友指導，謝謝。
Suppose 0 < p < 1
x = t/(1-t) = 1/(1-t) - 1 => dx = 1/(1-t)^2
1 (t/(1-t))^(p-1) 1
=> ∫ ────────── . ──── dt
0 (1/(1-t)) (1-t)^2
1 (t)^(p-1)
= ∫ ────────── dt
0 (1-t)^p
1
= ∫ t^(p-1) (1-t)^(-p) dt
0
= B(p,-p) (by beta function)
= gamma(p) gamma(1-p) ( gamma(.) : gamma function)
= ....= π/sin(pπ)
最後一項卡關了....以前有證出來 抱歉 請高手再寫好了
複變的方法不太行 也請高手寫一下
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And I don't want the world to see me
Cause I don't think that they'd understand
When everything's made to be broken
I just want you to know who I am
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.113.191.14
1F：推 dexter:sin函數可表為網頁中(20)跟(21) 61.229.74.242 11/19 14:52
3F：→ dexter:而Gamma函數也可以表為infinite product 61.229.74.242 11/19 14:54
4F：→ dexter:這樣就可以湊出來 61.229.74.242 11/19 15:00
5F：推 josephw:THX 終於記得了@@ 140.113.191.14 11/19 18:10
6F：推 SCJhang:josephw大，可以請你幫我完成它嗎？ 125.225.75.97 11/19 19:07
7F：→ SCJhang:湊不太出來 125.225.75.97 11/19 19:09
8F：推 GSXSP:本版2422 我有用複變算過 (p變成1/p)140.113.140.162 11/20 01:12
9F：→ GSXSP:講錯了 是p-1變成 -1/p' 1<p'<inf140.113.140.162 11/20 01:21
10F：推 SCJhang:GSXSP，感謝你的相助。 125.225.83.149 11/20 17:50