※ 引述《keith291 (keith)》之銘言： : ※ 引述《YmemY (*＊米)》之銘言： : : 3 2 : : 2. a > 0, a + a + a = a 求 a (n->∞) : : 1 n+1 n+1 n+1 n n : : 我知道在n->∞時 可以用a_n = a_(n+1) = 固定值α 解出未知數， : : 但最後解出α=0或-1時，如何得知-1不合? : (a_(n+1))^3 + (a_(n+1))^2 + a_(n+1) = (a_(n+1))( (a_(n+1))^2 + a_(n+1) + 1) : 又(a_(n+1))^2 + a_(n+1) + 1 恆 > 0 因判別式 < 0,領導係數 > 0 : a_n : => a_(n+1) = ------------------------------ ≧ 0 by induction on n : a_(n+1))^2 + a_(n+1) + 1 : 且 : a_n a_n : a_(n+1) = ------------------------------ < --------- = a_n : a_(n+1))^2 + a_(n+1) + 1 1 : 此數列遞減有下界,由實數完備性知極限存在,此時用令 : lim a_n = lim a_(n+1) = α = lim (a_(n+1))^3 + (a_(n+1))^2 + a_(n+1) : n→∞ n→∞ n→∞ : = α^3 + α^2 + α : 解出α = 0 或 -1 但負明顯不合 by a_n ≧ 0 for all n 看來是我之前搞錯題意了 原本以為這個數列是由遞迴關係式所建立的 : : 4 : : 3. 類似的問題， a1 = 2(1+√5) ， a_(n+1) = ------- : : a_n - 2 : : 求a_n極限值， : : 得到 α=1±√5 如何得知正數不合? : : 謝謝:) : 類似作法 這個 我想跟 2 應該不同作法才對 至少這個是非遞增也非遞減的數列 我的作法如下 2 4√5 a_2 = -------- , a_3 = ---------- < 0 √5 2 - 2√5 所以 a_k < 0 , k = 3,4,5,... 4 4 而且 a_{k+1} = ---------- > ------- = -2 , k = 3,4,5,... a_k - 2 - 2 4 => a_{k+1} = ----------- < -1 , k = 4,5,6,... ---(1) a_k - 2 (-1) a_{k+1} - a_k = ------------ * (a_k^2 - 2a_k - 4) ---(2) a_k - 2 a_{k+1}^2 - 2a_{k+1} - 4 (-4) = -------------- * (a_k^2 -2a_k -4) ---(3) (a_k - 2)^2 由 (3) 得到 a_{k+r}^2 - 2a_{k+r} - 4 (-4)^r = ---------------------- * (a_k^2 - 2a_k -4) ---(4) r-1 Π (a_{k+j} - 2)^2 j=0 由 (1) 和 (4), 當 k > 4, |a_{k+r}^2 - 2a_{k+r} - 4| ≦ (4/9)^r (a_k^2 - 2a_k - 4) => 當 n > m > 5, n-1 | a_n - a_m | ≦ Σ |a_{k+1} -a_k| k=m n-1 4 ≦ Σ ------- |a_k^2 - 2a_k -4| k=m |a_k-2| n-1 4 ≦ Σ ----- |a_k^2 - 2a_k -4| k=m 3 4 n-1 4 ≦ ----- Σ (---)^(k-m+1) |a_{m-1}^2 - 2a_{m-1} -4| 3 k=m 9 4 4 n-m 4 ≦ ----- (---)^{m-6} |a_5^2 - 2a_5 - 4| Σ (---)^j 3 9 j=1 9 因此 {a_n} 是一個 Cauchy sequence, 所以會收斂 有錯請指教 --

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