※ 引述《dreamaster (整理房間~~~~)》之銘言： : ※ 引述《yonex (戴奧尼索斯)》之銘言： : : 統計學、數學分析，本質上有很大的成分是估計上下界的精神 : : 因此，不等式在統計學與分析學上，可能比等式更具有重要而有效的地位 : : a、b必須正數 : : 先證A≧G : : a＋b (√a－√b)^2 : : ------ － √ab＝ ------------- : : 2 2 : : 再證G≧H（利用A≧G） : : 1 2 : : √ab＝ --------------≧ ------------------ : : 1 1 1 1 : : √（--- ---） （---＋ ---） : : a b a b : : 這是最初等的證明法，本題有比較高級的證明，這裡就不詳述了 : : 方法是使用對數函數的凸性質與微積分 : : （其實看這個不等式，他本身就有對數函數的性質，調和平均和對數函數的積分有關係） : : Sn為等差級數的前n項和，可立即推導公式如下 : : n(a+a_n) : : Sn＝-------- 所以不可能有常數存在 : : 2 : : 定理：最簡分數a/b是有限小數 <＝> 分母b的質因數只有 2 或 5 : : ＝> : : 設a/b是有限小數，且小數有n位 : : 10^n(a/b)＝m m是自然數 : : bm＝a(2x5)^n 因為b和a互質 b∣(2x5)^n : m也有可能會整除(2x5)^n啊~~~?? if A、B≠0 AB＝M 則 A∣M and B∣M that's all : : 所以b只含質因數2或5 : : <＝ : : b＝2^(α)5^(β) : : a a a2^(β－α) a2^(β－α) P : : ---＝ -------------- ＝--------------＝-------------＝-------- 為有限小數 : : b 2^(α)5^(β) 2^(β)5^(β) 10^(β) 10^(β) : 那不知道這位大大知不知道「循環小數就是分母有2或5以外的質因數」怎麼證??? 我想先澄清一些概念 a.過去所謂的整除，就是除出來為『整數』 其實整數也是無窮循環小數，定義為：在小數點後第一位做0或9的『單節』無窮循環 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 例如6/2＝3 3＝3.000000.....＝2.99999...... b.過去所謂的『有限小數』 就是定義在小數點某位數（非第一位）後，發生以0或9的『單節』無窮循環 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 例如 3/10＝0.3 0.3＝0.300000000.....＝0.299999....... c.過去所謂的『無窮循環小數』 就是在小數點某位數後，發生以非0或非9為無窮循環 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ _ 1/3＝0.33333333.....＝0.3 （單循環節數） ______ 1/7＝0.142857 142857 142857.....＝0.142857 （六循環節數） 另外，『循環節數』不會超過分母的數字大小..... 例如1/7， 7的餘數只有7個（含0），他的『循環節數』最多能維持6個 當你接受這樣的講法之後（本來就該是這樣子定義） 那麼只要再證明有理數可展成循環小數，就可以了 ----------- 我的命題如下： a、b屬於整數，a≠0，則 b/a 是有理數 有理數必可表為無窮循環小數.....循環節數必小於a Pf: argue一下，凡不是『有限小數』， b/a都可以得到不為 0 的餘數 （否則為有限小數） 於是繼續長除法下去.... 在過程中所得到一切互不相同的餘數， ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 必定是在 1～a－1 之間，就餘數值而言，最多只有 a－1 個可能性 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 意思就是說....最多除 a－1 次，某餘數 s（當然小於a）必定出現第二次 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ （此即鴿龍原理的精神） 而其後餘數都將以 s 第一次出現時，其後各餘數的順序不斷反覆出現， 如此循環節數必小於a..... : 謝謝辛苦的解答!! --

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