作者theory (真男人˙希爾瑞)
看板Chemistry
標題Re: [學科] commutes and eigenfunction
時間Sat Aug 27 11:35:46 2011
※ 引述《skypieasalic (sky)》之銘言：
: 請教我一個量化概念 如果一個operator O* 與Hamiltonian operator H*
: commute 則每一個 eigenfuction of H* 也會是eigenfuction of O*
: 這是對的嗎?
錯的
這是邏輯問題
兩個 operator 有 commute 的關係，只代表 "它們具有同一組 eigenfunction"
也就是你可以同時準確地測量它們的 eigenvalue
而當時的測量產生了一組共同的 "向量空間"，稱為 Hilbert space
也就是兩個 operator 共同的一組 eigenfunction 所構成的向量空間
可是每個 operator 都可以有無限多組 eigenfunction
所以就算兩個 operator 是 commute 的
其一的任意一個 eigenfunction 不見得是另一個 operator 的 eigenfunction
你自己舉的動量及動能 operator 就是活生生的例子，不用想那麼多。
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 180.218.130.26
1F：推 sunev:我覺得這題的重點不在於因簡併而造成的任意選定基定的自由度 08/29 01:13
2F：→ sunev:而是隱諱的邊界條件，Hamiltonian以及Hilbert space三者之間 08/29 01:15
3F：→ sunev:的關係。 08/29 01:15
4F：推 sunev:舉例來說，若將Box的解表在P的本徵函數上，結果不會是單純的 08/29 01:21
5F：→ sunev:+P及-P兩者的線性組合。 08/29 01:21
6F：→ theory:我這篇文章的用意就是不要去管邊界條件，一開始的邏輯就是 08/29 23:19
7F：→ theory:錯的，想得再深都沒有用，邊界條件那是之後的事情 08/29 23:20
8F：→ theory:眼前的問題是，阿就不是 eigenfunction，扯邊界幹嘛？ 08/29 23:23
9F：推 sunev:有沒有commute和有沒有同一組本徵函數並不完全是同一件事 08/30 18:01
10F：→ sunev:但其充要條件是可以說清楚的，若把這點也考慮進來，就會發 08/30 18:02
11F：→ sunev:現原來的問題在於算符不算commute。 08/30 18:03
12F：推 oNeChanPhile:這個要推 08/30 18:06
13F：→ theory:如果原問者沒有透漏 particle in a box 的例子，請問你們 08/31 23:45
14F：→ theory:該怎麼扯接下來的邊界條件云云？你們已經把問題特殊化了 08/31 23:46
15F：→ theory:以原問者的例子，取 e^nx 這一組就可，而 sin(nx) 就不行 08/31 23:49
16F：→ theory:不管是不是在邊界上，sin 這一組就不能是動量的 eigenfunc 08/31 23:52
17F：→ theory:如果你要說考慮邊界那這兩個玩意不 commute，那我應該找不 08/31 23:55
18F：→ theory:到它們共同的 eigenfunction，可是就是找得到。 08/31 23:57
19F：→ theory:修正：是 e^inx，非 e^nx 08/31 23:58
20F：推 sunev:所謂邊界條件是針對原問者舉box為例後才回答的， 09/02 21:02
21F：→ sunev:在box的例子中，如採e^inx因不符邊界條件而被捨棄的說法， 09/02 21:06
22F：→ sunev:比較不好說明e^inx到底是不是H的本徵函數，其波函數對應的機 09/02 21:07
23F：→ sunev:率平方是否真能被測量的到。我覺得不承認e^inx為本徵函數比 09/02 21:08
24F：→ sunev:較直接。 09/02 21:08
25F：→ theory:對，所以若沒有 box 的例子，接下來說的都可以省了 (攤手) 09/04 12:46
26F：→ theory:在邊界上的 H 與內部的不同，已經偏離問題的核心，只是這樣 09/04 12:56