※ 引述《yiting428 ()》之銘言： : 大家好 : 在林昀的電子學裡面有寫到 : 1. : 「複合物半導體(ex. GaAs)自由電子移動速率甚快於矽，故適合於高速電路或微波元件? : 想請問若價電子都同樣已躍遷到傳導帶成為自由電子 : 為什麼不同晶體的自由電子移動率會不同? : 是跟晶體結構有關係嗎? : 如果可以希望能有詳細一點的解說 關於 mobility... 長話短說：一切都跟能帶結構有關。 嗯，我相信這大家都知道，所以底下我就分享些最近粗略了解的細節： ---- 例如假設電子一開始在 Gamma valey 且k=0，即 E=Ec。那接下來它會在 自由飛行一段時間後，就會經歷散射。以你說得 GaAs 為例，裡面"主要 的"散射機制有： Intravalley scattering（傳導帶內部）: 1. Acoustic phonon scattering 2. Polar optical phonon scattering Intervalley scattering（傳導帶之間）: 1. Equivalent，如(000) & (000) 2. Non-equivalent，如(100) & (000) 然後各自又可細分為 Acoustic/polar/non-polar phonon scattering 因此每個電子往前飛時，會有一定機率被散射。散射後又繼續飛， 同時又受電場加速，又散射。如果你模擬上千上萬個電子在均勻電 場下的速度與時間關係，那麼你可以算出電子在該電場下的平均飽 和速度。接著換別的電場繼續模擬，就可以做出常見的漂移速度與 電場的圖，而 mobility 不過是描述漂移速度與電場的關係而已。 那麼這些散射機制被什麼決定呢？底下隨便說些不專業的想法，純 粹是我讀了一些 transition probability 後得來的心得 XD 1. 不同 (E,k) 的 Bloch function 的重疊程度 2. 通常是考慮彈性散射，所以聲子能量也得跟能階匹配 3. 能帶的形狀很重要，這有兩種意涵。 首先是 spherical & ellipsoidal 的差別，例如 E = (hbar*k)^2/2m， 這就是所謂的 spherical band。但有些則是有 longitudinal & transverse mass 的概念在裡頭，如 E = (hbar*kt)^2 / 2mt + (hbar*kl)^2 / 2ml 這種能帶就是所謂的 Ellipsoidal band。再來是 parabolicity 的差異。 例如剛提到的 E = (hbar*k)^2/2m，這就是拋物近似，但缺點是沒辦法 用在更高能量的地方，所以這時會用到下述寫法： E * (1 + alpha * E) = (hbar*k)^2/2m 這種能量形式就稱為 non-parabolic，比較適用於需要描述強電場的時候， 例如 impact ionization rate 很大時，通常就會需要這種更準確的描述。 4. GaAs 這東西是極性半導體，所以在 Phonon scattering 中， 除了常見的晶格震盪造成的 deformation-potential interaction 以外， 還會有所謂的 Electrostatic interaction。這就很複雜了 you know。 所以才會有剛才提到的 "Polar optical phonon scattering"。相關的 還有 Ascoustic, piezoelectric phonon scattering。 5. Ionized impurity scattering 6. Plasmon-Phonon coupling 7. Electron-Hole interaction ............... 所以電子速度到底是怎樣產生的呢？ 1. 電子出現了！ 2. 飛了一段時間（hbar * dk/dt = -eE） 3. 跑到了新的 k 位置，所以根據不同能帶形狀，有著對應的新的能量E。 記得這時還在自己原本的能帶中，例如 Gamma valley。 4. 所以跑了"多遠"？就把上述前後能量差除以受力，eE，就是位移。 5. 所以這趟平均速度如何？就是把位移除以時間，並記錄！ 6. 然後這時就要被散射拉，有很多機率，散射之後你跑到了新的 (E,k) 7. 繼續飛～～～～～飛了一段時間，...重複（2）。 於是你就有一連串 k(t), E(t), x(t), V(t) 了。 然後你把速度拿來統計處理一下就可以找到 mobility 了。 所以為什麼A的mobility比B的大呢？ 嗯，我也不知道...我覺得要能夠對這種現象給出正確的定性解釋， 真的超難的......我只知道它大致的由來而已ＱＱ希望有回答到哦 : 2. : 在費米能階之費米迪拉克分布機率為0.5 : 可是費米能階又是在介於價帶與導帶的能隙之中 : 所以電子應該不可能會有Ef這樣的能態吧? : 那為什麼分布機率會是0.5? : 為什麼離散的能階可以和連續的分布函數圖形有關係? : 謝謝 你可以看 Ashcroft & Mermin 那本固態物理，好像是第二還第三章就有 這東西的推導。第一次讀可能讀不太懂，讀個十次大概就有fu了XD 雖然 像是 Griffiths 量子物理課本也會有，不過我覺得那種「fu」不太一樣 就是。 話說回來，其實我覺得這是有點誤會了 「在費米能階之費米迪拉克分布機率為0.5」 這看起來好像是在說，存在著一種能階，叫做費米能階（Fermi level）， 而在這能階上的電子出現機率為0.5。這裡需要釐清很多細微觀念。 1. 費米能階是什麼？ 你所指的東西，嚴格來說叫做電化學位能（electrochemical potential）。 它就是個跟重力位能、電位能很相似的東西，靜止的正電荷會自發地從高電位 移動到低電位，我們用電位來描述這種電荷的自發運動現象。物質會從高濃度 自發(機率問題)擴散到低濃度，我們就用化學位能來描述這種現象。因此，在 半導體物理中，我們就用你看的電化學位能來描述電子會自發地從某處跑到某 處的現象，就好比金屬跟半導體接觸時，電子會自己從高費米能階的物質移動 到低費米能階的物質那樣。熱平衡時，就是兩端電化學位能相同的時候。而如 果是通電壓的半導體元件，如二極體，這時有電流了，會生熱了，系統不封閉了。 即便考慮外界也會因為持續生熱而沒達到熱平衡，所以這是個非熱平衡但達穩 態的系統，這時費米能階，或說電化學位能就沒意義了，取而代之的是 Quasi-fermi level。有趣的是你可以用這東西的梯度來看出電流會往哪流，這 充分展現了他作為"位能"的價值，雖然這是個無法事先計算而只有象徵圖解意義 的馬後砲概念。 因此，費米能階真的是能階嗎？不是。真正的能階是你看到的Ec以上與Ev以下， 或是能隙中的 impurity level，還是什麼surface state、interface state等 等的。 2. Fermi-dirac distribution 是啥？ 假設矽的電子能階只能有 E1, E2, .., Ev 以及 Ec, .... 之類的"離散能階"。 那麼你就可以根據統計力學中的 Canonical ensemble theory 推出電子 在上述這些離散能階中的機率（每個能階只能有1個電子，這裡我將不同 自旋但相同能量的"level"，視為不同的能階））。然後，假設這系統總 共有N個電子，那麼第i個能階有電子的機率為 f(N,i)，經過很多推導， 你會發現（詳見Ashcroft & Mermin p.41）： f(N,i) = 1 - exp[(Ei-μ)/kT] * f(N+1,i) 注意：上述Ei是離散的能階的能量。 其中μ為electrochemical potential，定義為在N個電子的矽的系統中， 加入一個電子所需要提供的 Helmholtz free energy。總之就是你要給它 能量讓它能包容這新來的電子就是了。 然後呢？剛才的 f(N,i) 就是 Fermi-Dirac distribution。在這裡你 可以看見，那個能量 Ei 確實只有你所認定的「能夠佔據的能階」才有 意義。假如 Ev ~ Ec 沒有能階，那就不能夠在上式中討論那種 Ei，因為 根本就不存在。 最後，我們說因為 N >>>> 1，所以就可以進一步化簡為你課本上看到的 那樣了。 f(i) = 1 / {exp[(Ei-μ)/kT] + 1} 所以如果你這時把μ解釋為「能夠讓電子占據機率為0.5的能階」，這 真的是錯誤的說法，因為並沒有這種能階。當然你說有沒有可能剛好有個 trap level 在這？好吧，確實有可能，不過那也是這種特例。 3. 什麼是 Fermi energy？它跟 Fermi level 有啥關係？ 其實這兩個是完全不一樣的東西。Fermi energy 是指，在0K時且熱平衡時 系統中的最大電子能量。不過呢，在0K時，Fermi energy & Fermi level 恰好 會差不多就是，這點你可以從 Fermi-Dirac distribution 中看出來。 : 所以電子應該不可能會有Ef這樣的能態吧? 嗯嗯可以說沒有 : 那為什麼分布機率會是0.5? 只是個美麗的誤會，比較好記憶，不然一般來說，很難有老師能理解那麼多 什麼 electrochemical potential 什麼 Holmholtz free energy 的概念。 講了這些同學也不懂，不如反過來利用該函數本身的機率意義來賦予 mu 值 意義，只是這樣其實還是什麼也沒說到，循環定義了。就好像牛頓在他書本 給的第一個質量定義：質量就是密度乘體積。哦，那什麼是密度？密度就是 質量除以體積，所以後來 Ernst Mach 才進一步提出了全新的質量定義...（扯遠了 : 為什麼離散的能階可以和連續的分布函數圖形有關係? 其實這也是美麗的誤會，Fermi-Dirac distribution 嚴格來說也不是連續的哦。 它的 energy 也只能代入離散的能量，如上所述。 : 謝謝 希望有回答到你問題哦，拍謝講了一堆。 --

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