作者snaredrum (好聽木琴)
看板MATLAB
標題[問題] 找垂直向量
時間Sun Jul 14 06:55:23 2013
有個問題 我手算不了，想用MATLAB幫忙 請各為大大指教
我想找七個21維向量 u1,u2,...,u7
有底下性質
1) <u_i,u_j> = 0 if i不等j (兩兩垂直的意思)
2) 向量長度為1
3) 這七個向量，每個向量的21個 digits 加起來=3
請問如何寫出這七個向量呢?
感恩~~
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 71.114.93.173
1F：→ YoursEver:第三點: 1-norm==3 還是 和==3? 07/14 07:45
不好意思 我寫清楚點， 3)的意思是 \sum u_k(i) =3 for i=1:21
還有對每個 k =1,2,3,4,5,6,7
簡單講就是每個向量必須屬於 x1+x2+...+x21=3 的hyperplan上。
※ 編輯: snaredrum 來自: 71.114.93.173 (07/14 10:15)
2F：→ YoursEver:其中一個特解是 九個entry為1/3,其餘為0;其他的隨便排. 07/15 00:28
3F：→ YoursEver:另外, |x|=1 和 \sum u_k = 3這兩個條件放在一起很詭異. 07/15 11:13
4F：→ YoursEver:因為後者太寬鬆了,看起來得 x 的 1-norm 為3才會合理. 07/15 11:13
5F：→ snaredrum:九個1/3的特解我也知道，但是這樣只有一組~ 07/15 15:33
6F：→ snaredrum:我需要的是兩兩垂直的七組... 感覺不容易手寫的出 07/15 15:34
7F：→ snaredrum:肯定要藉助matlab~ 07/15 15:34
8F：推 YoursEver:你還有12個0...,夠生出兩兩垂直的七組了. 07/15 16:00
9F：→ YoursEver:等等,我沒想清楚... 07/15 16:02
10F：→ snaredrum:呵呵..謝謝樓上回應，不過 有沒有系統化依點的作法? 07/16 06:28
11F：→ snaredrum:就是利用MATLAB~ 07/16 06:29
12F：→ YoursEver:我覺得是有沒有解的問題,但還沒想清楚... 07/16 10:55
13F：→ YoursEver:unit ball和hyperplane的交點會是一個圓,以你的case來說 07/16 10:56
14F：→ YoursEver:圓周上的點能構成一組能span 20維空間的frame是沒問題的 07/16 10:57
15F：→ YoursEver:但是若要把條件限縮到必須orthonormal,我想不通是否真的 07/16 10:58
16F：→ YoursEver:會有解. 07/16 10:58
17F：→ snaredrum:既然都知道是20維 那來七個ONB應該沒問題吧!? 07/17 09:38
18F：→ snaredrum:不過 我想S^20與hyperplane的交集 還是vector space嗎? 07/17 09:43
19F：→ snaredrum:似乎這個交集已經破壞掉向量空間性質 (除非平移之類的) 07/17 09:43
20F：→ YoursEver:那一組是frame,不是basis; 我們在懷疑的點是,當球和平面 07/17 13:39
21F：→ YoursEver:球和平面相交的點中,是否真的能找到k個兩兩獨立的向量? 07/17 13:43
22F：→ snaredrum:不知道你這裡的frame是什麼意思?frame中就沒有維數概念? 07/19 12:43
23F：→ snaredrum:如果有，應該就有number of orthonomal basis, right? 07/19 12:44
我在多說幾句，
球面上就是要求norm =1，以這問題來說，R^21中的單位球，可以想成最後一個就是
被前面20個數字決定 = 根號 (1減去一堆數字的平方)
當這前面20個數字得夠小 (平方和不要大於1)
對於兩兩垂直的性質來說 數字大小不是問題，總是可以把norm除掉 不影響垂直性質。
所以我想的是norm =1 也就是少個自由度~
然後hyperplane也是少個自由度。 所以我本以為這問題 原本21維
但是要求norm =1 , sum of components =3 會少倆個自由度 就視成19維~
我猜答案應該有無窮多組 但是 我手寫不出來 仰賴MATLAB可能有方便的寫法
因此上板請教~
※ 編輯: snaredrum 來自: 71.114.93.173 (07/19 12:50)
24F：→ YoursEver:wiki上沒看見和frame直接相關的內容...orz 07/20 08:23
25F：→ YoursEver:I. Daubechies的<<ten lectures on wavelets>> 07/20 08:24
26F：→ YoursEver:或S. Mallat的<<a wavelet tour of signal processing>> 07/20 08:25
27F：→ YoursEver:這兩本書裡可以找到有關frame的敘述. 07/20 08:25
28F：→ snaredrum: 我理解沒錯的話 frame也是有維數觀念的~ 07/22 11:11
29F：→ snaredrum:我門會說{x_i} 在某個空間(ex: R^n) 中是frame 07/22 11:12
30F：→ snaredrum:if for all f in R^n , \sum |<f,x_i>|^2 會被f的2-norm 07/22 11:12
31F：→ snaredrum:乘上某個常數控制住上下界, right? 所以還是有維數觀念 07/22 11:13
32F：→ snaredrum:意思是 如果x_i 是R^n的frame， 那裡面可以找到n組 ONB 07/22 11:14