※ 引述《kuromu (kuromu)》之銘言： : Riemann curvature tensor 的兩種求法 : 一種是從 : μ μ μ ν : ▽ ▽ V - ▽ ▽ V = R V : α β β α ναβ : 另外一種是從 : parallel transport 一圈看變化 : 想請問一下 這兩種方法的等價的原因是什麼 : 非常感謝<(_ _)> 這兩者的等價是很自然的。 Winhead有解釋了。基本上曲率是度量空間的彎曲程度所定義 出來的量，從另外一個角度來看，想要定義曲面的彎曲程度，就是從分佈在曲面上的曲線 的彎曲程度來研究。如何去定義曲線的彎曲程度呢?粗略來說，就是一個與曲線二次微分 有關係的量，以物理來說，就是運動的"向心"加速度。 因此要研究曲面上曲線的彎曲程度，你必須要給出一個度量，這個度量可以告訴你如何 去計算曲線的長度，以及曲線的變化。曲線的變化，就是速度與加速度，再曲線上每個點 的切向量所在的切空間就是定義為流形的切空間。當然要研究加速度你必須要研究速度的 變化，然而曲線上不同點的切向量當然是不屬於同一個向量空間的，但在計算加速度的時 候，你必須要計算 V(t+Δt) - V(t) lim ---------------- Δt 但是呢V(t+Δt)與V(t)並不是活在同一個空間裡。仔細想想我們在中學時期學的， 就是把V(t+Δt)平行移動到與 V(t)同一個點，然後計算V(t+Δt)與V(t)的差。聯絡 就是告訴你如何把向量沿著曲線平行移動到曲線上另外一個點的空間上的方式。在黎曼 流形上這種度量的方式一旦確定了，聯絡也會為一的被確定(滿足某些條件的連絡)。 而曲率就如同Winhead的解釋，很自然的就會出現。 詳細情形應該看一些微分幾何的書會解釋，我記得Spivak應該有講，可以去翻翻。 --

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