※ 引述《kuromu (kuromu)》之铭言： : Riemann curvature tensor 的两种求法 : 一种是从 : μ μ μ ν : ▽ ▽ V - ▽ ▽ V = R V : α β β α ναβ : 另外一种是从 : parallel transport 一圈看变化 : 想请问一下 这两种方法的等价的原因是什麽 : 非常感谢<(_ _)> 这两者的等价是很自然的。 Winhead有解释了。基本上曲率是度量空间的弯曲程度所定义 出来的量，从另外一个角度来看，想要定义曲面的弯曲程度，就是从分布在曲面上的曲线 的弯曲程度来研究。如何去定义曲线的弯曲程度呢?粗略来说，就是一个与曲线二次微分 有关系的量，以物理来说，就是运动的"向心"加速度。 因此要研究曲面上曲线的弯曲程度，你必须要给出一个度量，这个度量可以告诉你如何 去计算曲线的长度，以及曲线的变化。曲线的变化，就是速度与加速度，再曲线上每个点 的切向量所在的切空间就是定义为流形的切空间。当然要研究加速度你必须要研究速度的 变化，然而曲线上不同点的切向量当然是不属於同一个向量空间的，但在计算加速度的时 候，你必须要计算 V(t+Δt) - V(t) lim ---------------- Δt 但是呢V(t+Δt)与V(t)并不是活在同一个空间里。仔细想想我们在中学时期学的， 就是把V(t+Δt)平行移动到与 V(t)同一个点，然後计算V(t+Δt)与V(t)的差。联络 就是告诉你如何把向量沿着曲线平行移动到曲线上另外一个点的空间上的方式。在黎曼 流形上这种度量的方式一旦确定了，联络也会为一的被确定(满足某些条件的连络)。 而曲率就如同Winhead的解释，很自然的就会出现。 详细情形应该看一些微分几何的书会解释，我记得Spivak应该有讲，可以去翻翻。 --

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