作者SJOKER (高斯教授)
看板Math
標題Re: [中學] 一題數論的題目
時間Fri Jan 14 21:54:22 2011
※ 引述《j19951102 (j19951102)》之銘言：
: 設p, q, r為質數，若滿足關係式p^3 = p^2 + q^2 + r^2，試求所有可能值p, q, r
: 想了好久，想不出來，請大家幫忙
筆者提供一個想法,有錯尚請不吝指正:
我們先考慮p,q,r中其它有出現2或3的情況(#部分為不失一般性的假設):
(1)p = 2 時 , 原式 => 8 = 4 + q^2 + r^2 , 顯然沒有質數解
#(2)q = 2 時 , 原式 => p^3 = p^2 + 4 + r^2 ,
因為 p≠2 , 故p必為奇數 , 於是左式≡1或3(mod 4)
而右式若要≡1,則q只能是2,但此時對p無法得到質數解
(右式不可能≡3)
(3)p = 3 時 , 原式 => 27 = 9 + q^2 + r^2 , 得到(3,3,3)這個解
#(4)q = 3 時 , 原式 => p^3 - p^2 - 9 = r^2
此時不考慮p=r=3的情況(與上述重複),於是r^2≡1(mod 3)
而左式≡1-1-0≡0(mod 3) , 於是必無質數解
(目前此步有問題)
最後我們考慮p,q,r皆大於3的情況,此時p,q,r≡1或-1(mod 6)
因此p^3≡1或-1(mod 6),但是p^2 + q^2 + r^2≡3(mod 6),故亦無質數解
綜上所述,僅有(3,3,3)這個解
僅供參考
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◆ From: 118.166.174.85
※ 編輯: SJOKER 來自: 118.166.174.85 (01/14 21:54)
1F：推 j19951102 : #(4)q = 3 時 左式≡1-1-0≡0(mod 3) 能說明一下為 01/14 22:23
2F：→ j19951102 :什麼嗎? p^3不一定模3同餘1吧 01/14 22:24
3F：→ SJOKER :抱歉剛才我也發現第(4)步有問題,正在找新方法修正 01/14 22:27
※ 編輯: SJOKER 來自: 118.166.174.85 (01/14 23:56)
4F：推 moorhsum :能不能一樣用最下面的方法 既然p,r皆大於3必=1or-1 01/15 00:58
5F：推 moorhsum :阿 當我沒說... 01/15 01:02