作者SJOKER (高斯教授)
看板Math
标题Re: [中学] 一题数论的题目
时间Fri Jan 14 21:54:22 2011
※ 引述《j19951102 (j19951102)》之铭言：
: 设p, q, r为质数，若满足关系式p^3 = p^2 + q^2 + r^2，试求所有可能值p, q, r
: 想了好久，想不出来，请大家帮忙
笔者提供一个想法,有错尚请不吝指正:
我们先考虑p,q,r中其它有出现2或3的情况(#部分为不失一般性的假设):
(1)p = 2 时 , 原式 => 8 = 4 + q^2 + r^2 , 显然没有质数解
#(2)q = 2 时 , 原式 => p^3 = p^2 + 4 + r^2 ,
因为 p≠2 , 故p必为奇数 , 於是左式≡1或3(mod 4)
而右式若要≡1,则q只能是2,但此时对p无法得到质数解
(右式不可能≡3)
(3)p = 3 时 , 原式 => 27 = 9 + q^2 + r^2 , 得到(3,3,3)这个解
#(4)q = 3 时 , 原式 => p^3 - p^2 - 9 = r^2
此时不考虑p=r=3的情况(与上述重复),於是r^2≡1(mod 3)
而左式≡1-1-0≡0(mod 3) , 於是必无质数解
(目前此步有问题)
最後我们考虑p,q,r皆大於3的情况,此时p,q,r≡1或-1(mod 6)
因此p^3≡1或-1(mod 6),但是p^2 + q^2 + r^2≡3(mod 6),故亦无质数解
综上所述,仅有(3,3,3)这个解
仅供参考
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◆ From: 118.166.174.85
※ 编辑: SJOKER 来自: 118.166.174.85 (01/14 21:54)
1F：推 j19951102 : #(4)q = 3 时 左式≡1-1-0≡0(mod 3) 能说明一下为 01/14 22:23
2F：→ j19951102 :什麽吗? p^3不一定模3同余1吧 01/14 22:24
3F：→ SJOKER :抱歉刚才我也发现第(4)步有问题,正在找新方法修正 01/14 22:27
※ 编辑: SJOKER 来自: 118.166.174.85 (01/14 23:56)
4F：推 moorhsum :能不能一样用最下面的方法 既然p,r皆大於3必=1or-1 01/15 00:58
5F：推 moorhsum :阿 当我没说... 01/15 01:02