作者hcsoso (索索)
看板Math
標題Re: [分析] 均勻收斂
時間Sun Jan 16 23:48:43 2011
※ 引述《wyob (Go Dolphins)》之銘言：
: If fn is differentiable on [-1,1] and
: fn→f unifomly on [-1,1]
: prove f is differentiable on [-1,1]
: 不知道從何著手，所以上來請教
我擔心這題題目有出錯?
原因是根據 Weierstrass 逼近定理,
所有 [-1,1] 上的連續函數都可以被多項式均勻逼近.
但是我們存在連續卻處處不可微的函數,
如 Weierstrass function
http://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_function
因此, 雖然多項式皆為可微,
但均勻收斂到的連續函數卻不一定可微.
一般來說, 均勻收斂只有保證 "連續性" 和 "可積分性" 能傳過去,
"可微分性" 不一定能傳的過去.
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◆ From: 220.133.15.16
1F：推 wyob :其實我想問的就是這個..因為我根據定義做也沒找到保 01/16 23:56
2F：→ wyob :正可微，所以想說是不是哪裡有盲點想請教一下高手 01/16 23:56
3F：推 math1209 :對! 題目應該有錯~ 01/17 00:16
4F：推 wyob :那有沒有簡單點的反例，還是這篇的W.function就好了 01/17 00:20
5F：→ hcsoso :如果只要一個點不可微, |x| 就行了. 01/17 00:21
6F：→ hcsoso :你可以試著找一組 fn 逼近 |x|. 01/17 00:22
7F：推 wyob :這樣沒有fn→f uni. 01/17 00:23
8F：→ ppia :或者是直接套 Weierstrass 逼近定理 01/17 00:24
9F：推 wyob :找一組fn去逼近│x│喔，可是還要均勻的逼近是媽 01/17 00:30