作者hcsoso (索索)
看板Math
标题Re: [分析] 均匀收敛
时间Sun Jan 16 23:48:43 2011
※ 引述《wyob (Go Dolphins)》之铭言：
: If fn is differentiable on [-1,1] and
: fn→f unifomly on [-1,1]
: prove f is differentiable on [-1,1]
: 不知道从何着手，所以上来请教
我担心这题题目有出错?
原因是根据 Weierstrass 逼近定理,
所有 [-1,1] 上的连续函数都可以被多项式均匀逼近.
但是我们存在连续却处处不可微的函数,
如 Weierstrass function
http://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_function
因此, 虽然多项式皆为可微,
但均匀收敛到的连续函数却不一定可微.
一般来说, 均匀收敛只有保证 "连续性" 和 "可积分性" 能传过去,
"可微分性" 不一定能传的过去.
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◆ From: 220.133.15.16
1F：推 wyob :其实我想问的就是这个..因为我根据定义做也没找到保 01/16 23:56
2F：→ wyob :正可微，所以想说是不是哪里有盲点想请教一下高手 01/16 23:56
3F：推 math1209 :对! 题目应该有错~ 01/17 00:16
4F：推 wyob :那有没有简单点的反例，还是这篇的W.function就好了 01/17 00:20
5F：→ hcsoso :如果只要一个点不可微, |x| 就行了. 01/17 00:21
6F：→ hcsoso :你可以试着找一组 fn 逼近 |x|. 01/17 00:22
7F：推 wyob :这样没有fn→f uni. 01/17 00:23
8F：→ ppia :或者是直接套 Weierstrass 逼近定理 01/17 00:24
9F：推 wyob :找一组fn去逼近│x│喔，可是还要均匀的逼近是妈 01/17 00:30